Le bus, l’énigme maths du « Monde

Un bus met trois heures pour faire le trajet de la ville d’Abraca jusqu’à celle de Bracada. Entre les deux, il marque de nombreux arrêts où les passagers peuvent monter et descendre librement. Ce matin-là, la conductrice du bus a remarqué que tous ses passagers étaient restés exactement une heure dans le bus et avaient parcouru chacun exactement 10 kilomètres. Et d’Abraca à Bracada, il y a toujours eu au moins un passager dans le bus.

En arrivant, la conductrice se fait cette réflexion : « Puisque le bus a avancé de 10 kilomètres par heure pour tous les passagers et que le voyage a duré trois heures, alors le trajet complet devrait faire 30 kilomètres. »

Pourtant, en regardant le compteur du bus, elle constate qu’il y a 40 kilomètres entre Abraca et Bracada. Comment est-ce possible ?

Le lendemain, la même conductrice fait le chemin de Bracada à Cadabra. Cette fois, le trajet dure cinq heures, mais elle constate la même chose : il y a toujours des passagers dans le bus, mais chacun d’entre eux ne reste qu’une heure et parcourt exactement 10 kilomètres.

Combien y a-t-il de kilomètres, au maximum, entre Bracada et Cadabra ?

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Indice

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Solution

Imaginons que quatre passagers se soient succédé dans le bus à des horaires se chevauchant, mais de telle sorte que chaque passager reste un peu seul dans le bus entre le départ de celui d’avant et l’arrivée du suivant. Par exemple, le premier passager est resté de 8 heures à 9 heures, le deuxième de 8 h 40 à 9 h 40, le troisième de 9 h 20 à 10 h 20 et le quatrième de 10 heures à 11 heures. Si le bus a avancé de 10 kilomètres entre 8 heures et 8 h 40, puis de 9 heures à 9 h 20, puis de 9 h 40 à 10 heures, puis de 10 h 20 à 11 heures (c’est-à-dire sur les quatre intervalles où l’un des quatre passagers était seul à bord), il aura bien parcouru 40 kilomètres entre Abraca à Bracada.
Si le trajet de Bracada à Cadabra dure cinq heures, il est possible de faire entrer un maximum de 8 passagers de telle sorte que le bus ne soit jamais vide, mais que chacun soit seul à un moment. Par exemple, si le premier passager monte au départ de Bracada, puis les suivants au bout de respectivement 10 min, 50 min, 1 h 30 min, 2 h 10 min, 2 h 50 min, 3 h 30 min et quatre heures. Ainsi, chaque passager se retrouve à un moment seul dans le bus et si le bus avance de 10 kilomètres uniquement sur ces intervalles, il parcourt 80 kilomètres entre Bracada et Cadabra.
D’une manière générale, si le trajet dure N heures, on peut faire entrer un maximum de 2 (N-1) passagers en respectant ces contraintes et le bus roule donc au maximum 20 (N-1) kilomètres.

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Mickaël Launay

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