Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 13

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung, deren Grad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine einfache Körpererweiterung vorliegt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}L=K(X)}$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${\displaystyle {}K[X]}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}K\subset L}$ eine einfache, aber keine endliche Körpererweiterung ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein separables Polynom. Zeige, dass ein Teiler ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ von ${\displaystyle {}P}$ ebenfalls separabel ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Ist ein konstantes Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ separabel?

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche separable Körpererweiterung und ${\displaystyle {}M}$, ${\displaystyle {}K\subseteq M\subseteq L}$, ein Zwischenkörper. Zeige, das auch ${\displaystyle {}M\subseteq L}$ eine separable Körpererweiterung ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ und sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein irreduzibles Polynom, dessen Grad kein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ separabel ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ und sei ${\displaystyle {}X^{p}-a}$, ${\displaystyle {}a\in K}$, ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Körpererweiterung

${\displaystyle {}K\subseteq K[x]=K[X]/(X^{p}-a)\,}$

nicht separabel ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ und sei ${\displaystyle {}X^{p}-X-a}$, ${\displaystyle {}a\in K}$, ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass die Körpererweiterung

${\displaystyle {}K\subseteq K[x]=K[X]/(X^{p}-X-a)\,}$

separabel ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ und sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung, dessen Grad kein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ sei. Zeige, dass diese Körpererweiterung separabel ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$ und sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass diese Erweiterung genau dann separabel ist, wenn die Ordnung von ${\displaystyle {}D}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ ist.

Bestimme die Anzahl der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Algebrahomomorphismen von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {7}}]}$ nach ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive ${\displaystyle {}n}$-te komplexe Einheitswurzel. Bestimme die Anzahl der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Algebrahomomorphismen von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [\zeta ]}$ nach ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.

Sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und ${\displaystyle {}z\in L}$ ein Element. Es seien

${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei ${\displaystyle {}M=\{z_{1},\ldots ,z_{k}\}}$ die Menge der verschiedenen Werte ${\displaystyle {}\rho _{i}(z)}$. Zeige, dass dann für das Minimalpolynom ${\displaystyle {}G}$ von ${\displaystyle {}z}$ die Gleichung

${\displaystyle {}G=(X-z_{1})(X-z_{2})\cdots (X-z_{k})\,}$

gilt.

Sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}n}$ und seien ${\displaystyle {}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }}$ die ${\displaystyle {}n}$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei ${\displaystyle {}z\in L}$ und ${\displaystyle {}z_{i}=\rho _{i}(z)}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$. Zeige, dass dann

${\displaystyle N(z)=z_{1}\cdots z_{n}{\text{ und }}S(z)=z_{1}+\cdots +z_{n}}$

gilt.

Diskutiere Lemma 13.12 für die Extremfälle ${\displaystyle {}M=K}$ und ${\displaystyle {}M=L}$.

Diskutiere Lemma 13.12 für die Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)\subseteq {\mathbb {F} }_{625}\cong \mathbb {Z} /(5)[X]/{\left(X^{4}-2\right)}}$ und den Zwischenkörper ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{25}}$.

Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,}$

mit ${\displaystyle {}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}}$. Bestimme die Minimalpolynome zu ${\displaystyle {}\zeta _{8}}$ über den folgenden Zwischenkörpern ${\displaystyle {}M}$, ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L}$.

1. ${\displaystyle {}M=\mathbb {Q} }$.
2. ${\displaystyle {}M=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$.
3. ${\displaystyle {}M=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$.
4. ${\displaystyle {}M=L}$.

Ein Körper ${\displaystyle {}K}$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ separabel ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein vollkommener Körper und ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine separable Körpererweiterung ist.

Zeige, dass jeder Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ vollkommen ist.

Zeige, dass jeder algebraisch abgeschlossene Körper vollkommen ist.

Zeige, dass ein endlicher Körper vollkommen ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}p}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}K}$ genau dann vollkommen ist, wenn der Frobeniushomomorphismus auf ${\displaystyle {}K}$ surjektiv ist.

Zeige, dass der Körper ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}(X)}$ der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.

Man gebe ein Beispiel für eine endliche einfache Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$, die nicht separabel ist.

Man gebe ein Beispiel für eine graduierte Körpererweiterung, die nicht einfach ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein unendlicher Körper und sei ${\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion

${\displaystyle F\colon K^{n}\longrightarrow K,\,(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto F(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

nicht die Nullfunktion ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}L=K(X)}$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${\displaystyle {}K[X]}$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen ${\displaystyle {}K}$ und ${\displaystyle {}L}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}L=K(X)}$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${\displaystyle {}K[X]}$. Es sei ${\displaystyle {}M}$, ${\displaystyle {}K\subseteq M\subseteq L}$, ${\displaystyle {}M\neq K}$, ein Zwischenkörper. Zeige, dass ${\displaystyle {}M\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der positiven Charakteristik ${\displaystyle {}p}$. Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}K(X^{p},Y^{p})\subseteq K(X,Y)\,.}$

Zeige, dass dies keine einfache Körpererweiterung ist.