Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 12

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte kommutative ${\displaystyle {}K}$- Algebra. Zeige, dass zu einem Untermonoid ${\displaystyle {}M\subseteq D}$ der ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum

${\displaystyle \oplus _{d\in M}A_{d}}$

ein Unterring von ${\displaystyle {}A}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte kommutative ${\displaystyle {}K}$- Algebra, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass die Menge

${\displaystyle M={\left\{d\in D\mid A_{d}\neq 0\right\}}}$

ein Untermonoid von ${\displaystyle {}D}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte ${\displaystyle {}K}$- Algebra. Es sei ${\displaystyle {}f\in A}$ eine homogene Einheit vom Grad ${\displaystyle {}d}$. Zeige, dass das inverse Element ${\displaystyle {}f^{-1}}$ homogen vom Grad ${\displaystyle {}-d}$ ist.

Wir betrachten die ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(10)}$- graduierte ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Algebra

${\displaystyle {}L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{10}-5\right)}=\mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {1}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {2}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {3}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus \cdots \oplus 5^{\frac {8}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {9}{10}}\cdot \mathbb {Q} \,.}$

1. Berechne das Inverse von

   ${\displaystyle 5^{\frac {1}{10}}.}$

2. Berechne

   ${\displaystyle {\left(5^{\frac {7}{10}}\right)}^{4}.}$

3. Berechne

   ${\displaystyle {\left({\frac {2}{7}}-{\frac {4}{3}}\cdot 5^{\frac {3}{10}}-5\cdot 5^{\frac {8}{10}}\right)}{\left({\frac {2}{3}}+{\frac {5}{4}}\cdot 5^{\frac {5}{10}}+4\cdot 5^{\frac {7}{10}}-{\frac {1}{2}}\cdot 5^{\frac {9}{10}}\right)}.}$

4. Bestimme graduierte Unterringe von ${\displaystyle {}L}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}D}$ eine endliche kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass zu einem Untermonoid ${\displaystyle {}M\subseteq D}$ der ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum

${\displaystyle \oplus _{d\in M}A_{d}}$

ein Unterkörper von ${\displaystyle {}A}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$. Zeige, dass eine quadratische Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ graduiert ist.

Es sei ${\displaystyle {}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Zeige, dass die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon ]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,}$

graduiert ist.

Zeige, dass eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$- graduierte Körpererweiterung einfach ist.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte Körpererweiterung, wobei ${\displaystyle {}D}$ nicht zyklisch sei. Zeige, dass die Körpererweiterung nicht von einem homogenen Element erzeugt wird.

Es seien ${\displaystyle {}p,q\in \mathbb {Z} }$ verschiedene Primzahlen und

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]=L\,}$

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}4}$. Bestimme, ob die folgenden Elemente die ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Algebra ${\displaystyle {}L}$ erzeugen oder nicht.

1. ${\displaystyle {}{\sqrt {p}}}$,
2. ${\displaystyle {}{\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}}$,
3. ${\displaystyle {}{\sqrt {pq}}}$,
4. ${\displaystyle {}{\sqrt {p}}+{\sqrt {pq}}}$.

Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}{\mathrm {i} }]=L\,.}$

1. Bestimme das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}{\sqrt[{4}]{7}}{\mathrm {i} }}$.
2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ gleich ${\displaystyle {}4}$ ist.
3. Finde einen echten Zwischenkörper

   ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset M\subset L\,.}$

4. Zeige, dass ${\displaystyle {}L}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)}$- graduierte Körpererweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.
5. Zeige, dass ${\displaystyle {}L[{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)}$- graduierte Körpererweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist. Durch welche Untergruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)}$ wird ${\displaystyle {}L}$ beschrieben?

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine Gruppe, ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)}$ die Charaktergruppe zu ${\displaystyle {}D}$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. ${\displaystyle {}D^{\vee }}$ ist eine kommutative Gruppe.
2. Bei einer direkten Gruppenzerlegung ${\displaystyle {}D=D_{1}\times D_{2}}$ ist ${\displaystyle {}(D_{1}\times D_{2})^{\vee }=D_{1}^{\vee }\times D_{2}^{\vee }}$.

Sei ${\displaystyle {}D}$ eine endliche Gruppe, ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}\chi \in D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)}$ ein Charakter. Zeige, dass ${\displaystyle {}\chi (d)}$ für jedes ${\displaystyle {}d\in D}$ eine Einheitswurzel in ${\displaystyle {}K}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}D_{1}}$ und ${\displaystyle {}D_{2}}$ kommutative Gruppen und seien ${\displaystyle {}D_{1}^{\vee }}$ und ${\displaystyle {}D_{2}^{\vee }}$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon D_{1}\longrightarrow D_{2}}$

   durch die Zuordnung ${\displaystyle {}\chi \mapsto \chi \circ \varphi }$ ein Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi ^{\vee }\colon D_{2}^{\vee }\longrightarrow D_{1}^{\vee }}$

   definiert wird.

2. Es sei ${\displaystyle {}D_{3}}$ eine weitere kommutative Gruppe und sei

   ${\displaystyle \psi \colon D_{2}\longrightarrow D_{3}}$

   ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

   ${\displaystyle {}(\psi \circ \varphi )^{\vee }=\varphi ^{\vee }\circ \psi ^{\vee }\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper.

a) Zeige, dass durch

${\displaystyle D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),}$

ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle {}D}$ in das Doppeldual ${\displaystyle {}(D^{\vee })^{\vee }}$ gegeben ist.

b) Es sei nun ${\displaystyle {}D}$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei ${\displaystyle {}m}$ der Exponent von ${\displaystyle {}D}$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus ist.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine endliche kommutative Gruppe und es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung

${\displaystyle E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}},}$

die einer Untergruppe von ${\displaystyle {}D}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle {}D^{\vee }}$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung

${\displaystyle D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),}$

ist ${\displaystyle {}\operatorname {ev} _{d}(E)\subseteq (E^{\perp })^{\perp }}$.

c) Es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei ${\displaystyle {}m}$ der Exponent von ${\displaystyle {}D}$ sei. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}\operatorname {ev} _{d}(E)=(E^{\perp })^{\perp }}$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${\displaystyle {}m}$, und es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, der eine primitive ${\displaystyle {}m}$-te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen

${\displaystyle E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}}}$

und

${\displaystyle H\longmapsto H^{\perp }={\left\{d\in D\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}\chi \in H\right\}}}$

(zwischen den Untergruppen von ${\displaystyle {}D}$ und den Untergruppen von ${\displaystyle {}D^{\vee }}$) zueinander invers sind.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${\displaystyle {}m}$, und es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, der eine primitive ${\displaystyle {}m}$-te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass in der in Aufgabe 12.17 beschriebenen Korrespondenz zwischen den Untergruppen von ${\displaystyle {}D}$ und von ${\displaystyle {}D^{\vee }}$ Durchschnitte von Untergruppen in die Summe von Untergruppen überführt werden. Es gilt also

${\displaystyle {}(E_{1}\cap E_{2})^{\perp }=E_{1}^{\perp }+E_{2}^{\perp }\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${\displaystyle {}F\in K[X,Y]}$ ein homogenes Polynom. Zeige: ${\displaystyle {}F}$ zerfällt in Linearfaktoren.

Zeige, dass es im Polynomring in ${\displaystyle {}n}$ Variablen genau ${\displaystyle {}{\binom {d+n-1}{n-1}}}$ Monome vom Grad ${\displaystyle {}d}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte ${\displaystyle {}K}$- Algebra. Ein ${\displaystyle {}K}$- Automorphismus

${\displaystyle \varphi \colon A\longrightarrow A}$

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element ${\displaystyle {}a\in A_{d}}$ gilt ${\displaystyle {}\varphi (a)\in A_{d}}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte kommutative ${\displaystyle {}K}$- Algebra. Zeige, dass der in Lemma 12.15 zu einem Charakter ${\displaystyle {}\chi \in D^{\vee }}$ eingeführte Automorphismus

${\displaystyle \varphi _{\chi }\colon A\longrightarrow A}$

homogen ist.

Wir betrachten die ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$- graduierte Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]\,}$

und den durch ${\displaystyle {}\chi (e_{1})=-1}$, ${\displaystyle {}\chi (e_{2})=1}$, ${\displaystyle {}\chi (e_{3})=-1}$, gegebenen Charakter. Bestimme

${\displaystyle \varphi _{\chi }{\left(3-2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {5}}+6{\sqrt {7}}+{\sqrt {15}}-4{\sqrt {21}}+3{\sqrt {35}}-5{\sqrt {105}}\right)}.}$

Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,}$

mit ${\displaystyle {}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}}$ gemäß Beispiel 12.9. Zeige, dass die Galoisgruppe isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$ ist.

Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\mathrm {i} }]=L.}$

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$.

b) Beschreibe eine möglichst einfache ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$.

c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?

d) Bestimme die ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Automorphismen von ${\displaystyle {}L}$.

e) Bestimme das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}{\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ die Menge der stetigen geraden Funktionen und ${\displaystyle {}U}$ die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Zeige, dass

${\displaystyle \operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )=G\oplus U}$

eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)}$- graduierte ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- Algebra ist.

Bestimme die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta _{5}]\,}$

mit ${\displaystyle {}\zeta _{5}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}}$.

Zeige, dass der fünfte Kreisteilungskörper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\zeta _{5}]}$ mit ${\displaystyle {}\zeta _{5}=e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}}$ nicht graduierbar ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}D}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}A}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte kommutative ${\displaystyle {}K}$- Algebra. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon A\longrightarrow A}$

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter ${\displaystyle {}\chi \in D^{\vee }}$ mit ${\displaystyle {}\varphi =\varphi _{\chi }}$ gibt, wobei ${\displaystyle {}\varphi _{\chi }}$ der gemäß Lemma 12.15 zu ${\displaystyle {}\chi }$ gehörige Automorphismus ist.

Betrachte die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]=L\,.}$

Zeige, dass einerseits ${\displaystyle {}1,{\sqrt {5}},{\sqrt {7}},{\sqrt {35}}}$ und andererseits ${\displaystyle {}({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})^{i}}$, ${\displaystyle {}i=0,1,2,3}$, eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Basis von ${\displaystyle {}L}$ bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.

Es sei

${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

   mit ${\displaystyle {}f(z)=g(\vert {z}\vert )}$ für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

2. Für alle ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln ${\displaystyle {}\zeta \in {\mathbb {C} }}$ (alle ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$) ist ${\displaystyle {}f(\zeta z)=f(z)}$ für alle ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}D}$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten ${\displaystyle {}m}$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}K}$ besitzt eine ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel.
2. Zu jedem Primpotenzteiler ${\displaystyle {}p^{r}}$ von ${\displaystyle {}m}$ besitzt ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}p^{r}}$-te primitive Einheitswurzel.
3. Zu jedem Teiler ${\displaystyle {}n}$ von ${\displaystyle {}m}$ besitzt ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel.
4. Zu jeder Ordnung ${\displaystyle {}n}$ eines Elementes ${\displaystyle {}d\in D}$ besitzt ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ eine endliche kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}E\subseteq D}$ eine Untergruppe. Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper.

a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \psi \colon D^{\vee }\longrightarrow E^{\vee },\,\chi \longmapsto \chi {|}_{E},}$

gleich ${\displaystyle {}E^{\perp }}$ ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}K}$ eine ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei ${\displaystyle {}m}$ der Exponent von ${\displaystyle {}D}$ sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}\psi }$ surjektiv ist.