- Übungsaufgaben
Es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
über einem
Körper
und es seien
Linearformen
auf
. Zeige, dass die Beziehung
-
![{\displaystyle {}\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} L_{i}\subseteq \operatorname {kern} L\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0056fb9dd520995d7c248ef1f4aa52e910ce70f0)
genau dann gilt, wenn
zu dem von den
erzeugten Untervektorraum
(im
Dualraum)
gehört.
Bestimme die
lokalen Extrema
der Funktion
-
![{\displaystyle {}h(x,y)=5x+3y\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9afd68cef49d49ebb7d29fd76142825b79adcc)
auf der Ellipse
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff08d41aa2ea351a460efd32cf649511df27e1b)
Bestimme die
lokalen Extrema
der Funktion
-
![{\displaystyle {}h(x,y)=x^{2}y^{3}\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276e98590340145da4b0558c66b7c307c2b73718)
unter der Nebenbedingung
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x+7y=100\right\}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bca47dff95fb366e7017068b397b753e9afc5df)
Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei
Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist
-
Die Stimmungsfunktion
wird durch
-
beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert?
(Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).
Man löse die folgende Aufgabe direkt und als eine Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen.
Für welche Punkte
der
Standardparabel
wird der
Abstand
zum Punkt
minimal?
Bestimme sämtliche
Tangenten
an die Hyperbel
-
Zeige, dass durch
-
eine
bijektive Parametrisierung
der Standardastroide
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f117aaa394dbb6db18af82b8ec2edc4e6e40b6d)
gegeben ist.
Bestimme die lokalen Extrema der Funktion
-
![{\displaystyle {}h(x,y)=x\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8b085521a25ba6ef318d9757b4295b37410266)
auf der Standardastroide
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f191f5999df9e0062e35161343881eb5a343b77)
Bestimme die
lokalen Extrema
der Funktion
-
![{\displaystyle {}h(x,y)=x\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8b085521a25ba6ef318d9757b4295b37410266)
auf der Standardastroide
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\left(x^{2}+y^{2}-1\right)}^{3}+27x^{2}y^{2}=0\right\}}\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f117aaa394dbb6db18af82b8ec2edc4e6e40b6d)
unter Verwendung der durch
gegebenen Parametrisierung
(siehe
Aufgabe 54.8)
von
.
Bestimme die
lokalen Extrema
der Funktion
-
![{\displaystyle {}f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0da44322154b96c0d1c7022dfe99a745e3b9b3b)
auf
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=20\right\}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f21737373d2c8c2320d621c29096b3b7d94ae0db)
Bestimme die
globalen Extrema
der Funktion
-
![{\displaystyle {}f(x,y)=x^{4}+y^{4}-8(x^{2}+y^{2})\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa196548a59299dab50ed35d45ba6aeb4cc3659)
auf
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 9\right\}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ed6a1c7fa720d57bd8ac49f3f9da1aa17b1646)
Bestimme die
globalen Extrema
der Funktion
-
![{\displaystyle {}f(x,y)=2x^{2}+y^{2}-x\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189d68ad121637b0a5402ce7f0b7fe0f23bd45ef)
auf
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3e7a5dc5f33423999a2af9eec33d2ae4473df9)
Bestimme die
lokalen Extrema
der Funktion
-
![{\displaystyle {}h(x,y)=3x-7y\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa745791c9c6585a41f2d0187f413e5c692ff56)
auf der Ellipse
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x^{2}+2y^{2}=1\right\}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91eceacc83770017b355fdceaad537b648264e46)
Es sei
-
eine
stetig differenzierbare
Funktion.
a) Zeige, dass
in einem Punkt
genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion
-
auf den Graphen
-
![{\displaystyle {}\Gamma ={\left\{(x,y)\mid y=g(x)\right\}}\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a56bf6c97a8821016af41f473ac7d5c8dd7c4e)
im Punkt
ein lokales Maximum besitzt.
b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?
c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen
-
und einem Punkt
derart, dass
und
linear abhängig sind und dass
auf der Faser zu
durch
kein lokales Extremum besitzt.
Es soll eine
(quaderförmige)
Schachtel mit den Seitenlängen
angefertigt werden, deren Inhalt gleich
-
![{\displaystyle {}abc=1000\,{\rm {{cm}^{3}\,}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83413975172a75ef962b6551231321a03822bf9)
sein soll.
a) Wie müssen
gewählt werden, damit der Materialaufwand für die sechs Seiten kritisch
(also extremal sein könnte)
wird?
b) Ist der Materialaufwand unter der in a) beschriebenen Situation minimal oder maximal?
c) Für die Luxusversion der Schachtel aus Teil a) soll die kleinste Seitenfläche
(vorne und hinten)
mit einer Goldfolie bedeckt werden. Die Materialkosten für eine solche Seite sind dreimal so hoch wie für eine normale Seite. Für welche Seitenlängen sind nun die Materialkosten extremal?
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
lokalen Extrema
der Funktion
-
![{\displaystyle {}h(x,y,z)=3x+4y+2z\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040e9b2b2ae2220a5d62dab75669990d13784ef5)
auf dem Ellipsoid
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+3z^{2}=4\right\}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9929d011ee6781b4027925537029d5197b98259)
Bestimme sämtliche
Tangenten
an die Astroide
-
Wir betrachten im Einheitswürfel
eingeschriebene Vierecke mit den Eckpunkten
(
)
-
- Zeige, dass die vier Punkte in einer Ebene liegen.
- Unter welcher Bedingung an
handelt es sich um ein Raute?
- Unter welcher Bedingung an
handelt es sich um ein Quadrat?
- Für welche
erhält man eine Raute mit maximalem Flächeninhalt?
Es seien
-
stetig differenzierbare Funktionen
derart, dass die Nullfasern
und
disjunkt
sind und beide nur
reguläre Punkte
besitzen. Es sei
-
ein Punktepaar, für das der Abstand zwischen solchen Punkten minimal wird. Zeige, dass die zugehörigen
Tangenten
parallel sind.