Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 53

Formuliere und beweise den „Satz über die surjektive Abbildung“.

Betrachte die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-x^{2}-2x+2.}$

Für welche Punkte ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} }$ ist ${\displaystyle {}\varphi }$ regulär? Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die Faser über ${\displaystyle {}0}$.

Was besagt der Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$? Für welche Punkte ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} }$ sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt? Wie sieht es aus, wenn ${\displaystyle {}\varphi }$ ein Polynom ist?

Was besagt der Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$? Für welche Punkte ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$ sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?

Es seien

${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen ${\displaystyle {}f'}$ und ${\displaystyle {}g'}$ stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x)+g(y),}$

stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von ${\displaystyle {}\varphi }$ als Graph an.

Beschreibe die Fasern der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.}$

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ und den Fasern von ${\displaystyle {}\varphi }$ an.

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy.}$

Beschreibe die Fasern der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.}$

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen offenen Intervallen ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ und (möglichst großen) offenen Teilmengen der Fasern von ${\displaystyle {}\varphi }$ an.

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.}$

Finde für die folgenden Kurven

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

Abbildungen

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

derart, dass das Bild von ${\displaystyle {}\gamma }$ genau die Faser von ${\displaystyle {}\varphi }$ über ${\displaystyle {}0}$ ist.

1. ${\displaystyle {}\gamma (t)=(t,t^{3})}$.
2. ${\displaystyle {}\gamma (t)=(t^{3},t^{3}+1)}$.
3. ${\displaystyle {}\gamma (t)=(\cos t,\sin t)}$.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine Funktion.

a) Realisiere den Graphen von ${\displaystyle {}f}$ als Faser zu einer Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

über ${\displaystyle {}0}$.

b) Es sei ${\displaystyle {}f}$ stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von ${\displaystyle {}f}$ regulär sind.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Man fertige eine Skizze an, die die Fasern, die Tangentialräume und lokale Diffeomorphismen zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}.}$

Man fertige Skizzen für den (1) Graph und (2) die Fasern und die Tangentialräume dieser Abbildung an.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

eine stetige Abbildung und ${\displaystyle {}F\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ die Faser über ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{m}}$. Zeige, dass es auch eine stetige Abbildung

${\displaystyle \psi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

derart gibt, dass ${\displaystyle {}F}$ die Faser von ${\displaystyle {}\psi }$ über einem Punkt ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein Untervektorraum. Zeige, dass es eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

in einen weiteren reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle {}W}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}U}$ die Faser über ${\displaystyle {}0\in W}$ ist und dass ${\displaystyle {}\varphi }$ in jedem Punkt ${\displaystyle {}v\in V}$ regulär ist.

Ein Fußballfeld soll in einen Park mit Erhebungen und mit Senken umgewandelt werden. Dabei sollen die Linien unverändert bleiben und alle anderen Punkte sollen ihre Höhe ändern. Ist dabei jede Vorgabe, welche umrandeten Gebiete erhöht oder gesenkt werden sollen, möglich? Ist jedes solche Vorhaben durch eine stetige oder eine differenzierbare Höhenfunktion durchführbar? Können im differenzierbaren Fall alle Punkte regulär sein?

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ offen und

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ${\displaystyle {}P\in G}$ ein surjektives totales Differential besitze. Es sei

${\displaystyle \psi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

(mit ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}}$ offen) ein lokaler Diffeomorphismus auf die Faser durch ${\displaystyle {}P}$, bei dem ${\displaystyle {}Q\in U}$ auf ${\displaystyle {}P}$ abgebildet wird. Zeige, dass man den Tangentialraum an die Faser durch ${\displaystyle {}P}$ auch als

${\displaystyle {\left\{P+{\left(D\psi \right)}_{Q}{\left(u\right)}\mid u\in \mathbb {R} ^{n-m}\right\}}}$

beschreiben kann.

Im Nullpunkt ${\displaystyle {}0\in \mathbb {R} ^{3}}$ befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch ${\displaystyle {}x=-1}$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut ${\displaystyle {}N\cong \mathbb {R} ^{2}}$ (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},}$

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung differenzierbar? Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär, wie sehen die Fasern aus?

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x,y)\longmapsto -t^{2}+x^{2}+y^{2}.}$

Bestimme die regulären Punkte und die Fasern dieser Abbildung.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy,yz).}$

Bestimme die regulären Punkte, die Fasern, das Bild und das Bild aller regulären Punkte dieser Abbildung.

Beschreibe den Tangentialraum an die Faser in jedem regulären Punkt der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}+y^{2}+z^{2},\,2x+3y+4z\right).}$

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}P=(1,-2,1)}$ regulär ist.

b) Beschreibe für den Punkt ${\displaystyle {}P=(1,-2,1)}$ den Tangentialraum an die Faser ${\displaystyle {}F}$ von ${\displaystyle {}\varphi }$ durch ${\displaystyle {}P}$.

c) Man gebe für ${\displaystyle {}P=(1,-2,1)}$ einen lokalen Diffeomorphismus zwischen einem offenen Intervall und einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}P}$ in der Faser ${\displaystyle {}F}$ durch ${\displaystyle {}P}$ an.

Wir betrachten die Funktion

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}\cdot \sin y-y\cdot \cos(xy).}$

Zeige, dass die Faser durch den Punkt ${\displaystyle {}P=(2,3)}$ sich lokal durch eine differenzierbare Kurve

${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \gamma (t),}$

mit ${\displaystyle {}\gamma (0)=P}$ parametrisieren lässt, und bestimme die möglichen Werte der Ableitung ${\displaystyle {}\gamma '(0)}$.

Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt ${\displaystyle {}(2,-1,3)}$ der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{2}e^{z}-y^{3},\,{\frac {x}{e^{yz}}}\right),}$

und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2},}$

im Punkt ${\displaystyle {}P=(1,-1,2)}$. Man gebe eine differenzierbare Abbildung

${\displaystyle \psi \colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

an, wobei ${\displaystyle {}U}$ eine möglichst große offene Teilmenge des Tangentialraumes ${\displaystyle {}T_{P}F}$ an die Faser ${\displaystyle {}F_{P}}$ von ${\displaystyle {}\varphi }$ durch ${\displaystyle {}P}$ ist, die eine Bijektion zwischen ${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}V\cap F_{P}}$ stiftet (${\displaystyle P\in V\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ offen).

Es seien

${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

stetige Abbildungen und seien ${\displaystyle {}F_{1}}$ und ${\displaystyle {}F_{2}}$ Fasern dieser Abbildungen, d.h. es sei ${\displaystyle {}F_{1}=\varphi _{1}^{-1}(b_{1})}$ und ${\displaystyle {}F_{2}=\varphi _{2}^{-1}(b_{2})}$ (für gewisse ${\displaystyle {}b_{1},b_{2}\in \mathbb {R} }$). Zeige, dass es eine stetige Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

und ein ${\displaystyle {}a\in \mathbb {R} }$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}F_{1}\cup F_{2}=\varphi ^{-1}(a)}$ ist.

Man gebe explizit eine stetige Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

derart, dass die Faser von ${\displaystyle {}\varphi }$ über ${\displaystyle {}0}$ gleich ${\displaystyle {}I={\left\{(x,0)\mid x\in [0,1]\right\}}}$ ist.

Zeige, dass die Fasern der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{3},}$

in jedem Punkt ${\displaystyle {}P=(x,y)}$ lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt ${\displaystyle {}P=(x,y)}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle {}(x,y)\in U}$, ein offenes Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$ und eine stetige Bijektion

${\displaystyle I\longrightarrow U\cap F_{P},}$

gibt (wobei ${\displaystyle {}F_{P}}$ die Faser von ${\displaystyle {}\varphi }$ durch ${\displaystyle {}P}$ bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.