- Übungsaufgaben
Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
-
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
.
Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
-
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
.
Bestimme zur Funktion
-
die Richtungsableitung in Richtung
für jeden Punkt.
Bestimme die
Richtungsableitung
von
-
![{\displaystyle {}f(x,y)=x^{3}+x^{2}y-y^{5}\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1466552aa7b0d4855f2dbab1dffee5e82bae180)
im Punkt
in Richtung
.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
eine
offene Teilmenge,
und
eine Abbildung. Es sei
ein Punkt und
ein fixierter Vektor. Zeige, dass
in
in Richtung
genau dann
differenzierbar
ist, wenn die
(auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um
definierte)
Kurve
-
differenzierbar
ist, und dass in diesem Fall die Gleichheit
-
![{\displaystyle {}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=g'(0)\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3e629a75c61ba74b4e1426fd33d65a27de2722)
gilt.
Wie muss dabei das Intervall bzw. die offene Umgebung gewählt werden?
Bestimme, für welche Richtungen die
Richtungsableitung
im Nullpunkt zur Funktion
-
existieren.
Zur Veranschaulichung betrachten wir zunächst den Spezialfall
.
Dann können wir die Zuordnung
als Funktion in einer Variablen auffassen. Ganz offensichtlich ist sie in
nicht differenzierbar, da das Steigungsverhalten der Funktion unterschiedlich ist, wenn wir uns dem Nullpunkt von links oder rechts annähern.
Daraus können wir direkt folgern, dass die Richtungsableitung von
in Richtung
(also in Richtung des Vektors, der die
-Achse aufspannt) nicht existiert, da wir die Richtungsableitung als Ableitung der Funktion interpretieren können, die sich durch Einschränkung auf eine Gerade ergibt.
Für die allgemeine Betrachtung der Richtungsableitung von
in Richtung
im Nullpunkt
untersuchen wir den Differenzenquotienten
![{\displaystyle {\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d831640de923bc14badd8021df3f94c1ad3f59)
für
. Wegen
stimmt dieser mit
![{\displaystyle {\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c99cd942cdd60fca014f004c5bb88fcdc5bf5c)
überein. Per Definition existiert die Richtungsableitung genau dann, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Wie wir aber bereits in dem Spezialfall oben gesehen haben, hängt die Grenzwertbetrachtung nun ganz wesentlich davon ab, ob
oder
ist, also ob wir uns dem Nullpunkt von links oder rechts nähern. Falls
ist, so gilt
![{\displaystyle {\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}={\frac {s\max(v_{1},v_{2})}{s}}=\max(v_{1},v_{2}).}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f661fb08cd4e16a0d23df5863a47bc2532527c2f)
Für den einseitigen Grenzwert mit
verwendet man auch die Notation
.
Falls
gilt entsprechend
![{\displaystyle \lim _{s\nearrow 0}{\frac {\max(sv_{1},sv_{2})}{s}}=\lim _{s\nearrow 0}{\frac {s\min(v_{1},v_{2})}{s}}=\min(v_{1},v_{2}).}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7ef9786f261923c4ff4b88fb325522d6748e9b)
Für welche Richtungsvektoren existiert folglich die Richtungsableitung und welchen Wert nimmt die Richtungsableitung dann im Nullpunkt an? Können negative Werte angenommen werden?
Diskutieren und Fragen
Bestimme, für welche Punkte
und welche Richtungen
die
Richtungsableitung
der
euklidischen Norm
-
existiert.
Bestimme, für welche Punkte
und welche Richtungen
die
Richtungsableitung
der Funktion
-
existiert.
Untersuche die Funktion
-
im Nullpunkt
auf
Richtungsableitungen.
Man entscheide für jede Gerade
durch den Nullpunkt, ob die
Einschränkung
von
auf
im Nullpunkt ein
Extremum
besitzt.
Wir machen uns zunächst ein Bild der Funktion. Falls wir die Funktion auf die Gerade
einschränken, also auf die
-Achse, so stimmt die Funktion mit der Parabel
überein. Im Nullpunkt liegt dann offenbar ein Minimum vor. Falls wir
auf die
-Achse mit
einschränken, stimmt
mit
überein, einer nach unten geöffneten Parabel, sodass ein Maximum vorliegt. Andere interessante Geraden durch den Ursprung sind die Diagonalen wie zum Beispiel die Gerade, die durch
definiert wird. Dort ist
konstant Null. Insbesondere ist die Einschränkung von
auf diese Diagonale sowohl minimal als auch maximal im Ursprung.
Die Funktion
ist ein Polynom, sodass, wie bereits in der Vorlesung erwähnt wurde, die Richtungsableitung in jedem Punkt und jede Richtung existiert. Hier untersuchen wir dies im Nullpunkt
für den Richtungsvektor
. Für den Differenzenquotienten erhalten wir
![{\displaystyle {\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}}={\frac {f(sv)}{s}}={\frac {(sv_{1})^{2}-(sv_{2})^{2}}{s}}=s(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}),}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237215ca0692283f09caf751bae295c21b03c410)
was im Grenzwert für
gegen Null konvergiert. Somit verschwindet die Richtungsableitung im Ursprung in jede beliebige Richtung. Die Einschränkung von
auf eine beliebige Ursprungsgerade ist eine quadratische Funktion in einer Variablen und besitzt somit ein Extremum im Nullpunkt.
Nach unseren vorherigen Überlegungen teilen die beiden Diagonalen den Raum
in die Teile, in denen entweder ein Maximum oder ein Minimum vorliegt. Genauer begründen lässt sich das folgendermaßen. Die Einschränkung von
auf die Gerade in Richtung
ist
![{\displaystyle h_{v}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad s\mapsto f(0+sv)=s^{2}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}),}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50796cbacdc8d2fca19800c35b64e195f4ab24e1)
eine quadratische Funktion in der einen Variablen
. Dann liegt ein Minimum vor, wenn
für
gilt, also
. Dies ist äquivalent zu
. Analog ergibt sich, dass bei
ein Maximum vorliegt.
Diskutieren und Fragen
Es seien
und
euklidische Vektorräume
und
-
seien
Abbildungen
auf einer
offenen Menge
,
die in Richtung
differenzierbar
seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung
-
in Richtung
differenzierbar ist, und dass
-
![{\displaystyle {}(D_{v}h)(P)=\left\langle f(P),(D_{v}g)(P)\right\rangle +\left\langle (D_{v}f)(P),g(P)\right\rangle \,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d553b21435abe02322cf60f1cb6ef8545466b59)
gilt.
Es sei
der Einheitskreis und
-
eine Funktion mit
,
gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.
- Zeige, dass durch
und
-
![{\displaystyle {}f(P):=\Vert {P}\Vert g\left({\frac {P}{\Vert {P}\Vert }}\right)\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638d689a4b15824527aa9f6967783aea94df17b6)
für
eine Funktion auf
definiert ist.
- Zeige, dass
genau dann
stetig
ist, wenn
stetig ist.
- Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges
derart, dass
im Nullpunkt stetig ist.
- Zeige, dass die Einschränkung von
auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
- Zeige, dass
im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
- Es sei
-
![{\displaystyle {}g(Q)={\begin{cases}1,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ rational ist }}\\0,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ irrational ist}}\,.\end{cases}}\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4e8c09d5d1c95b1afd9beaa48516867a9b9a4d)
Zeige, dass
in jedem Punkt
nur in eine Richtung
(bis auf Skalierung)
eine Richtungsableitung besitzt.
Es seien
und
reelle endlichdimensionale Vektorräume,
offen
und
ein Vektor. Es bezeichne
die Menge aller in Richtung
differenzierbaren Abbildungen
von
nach
. Zeige, dass die Abbildung
-
linear
ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
-
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
.
Bestimme die
Richtungsableitung
der Funktion
-
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
,
- im Punkt
in Richtung
.
Bestimme die
Richtungsableitungen
der Funktion
(
)
-
in einem Punkt
-
in Richtung
-
Zeige, unter Verwendung von
Aufgabe 43.19,
dass zu einer
polynomialen Funktion
-
zu einer fixierten Richtung
die
Richtungsableitung
existiert und selbst polynomial ist.