Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 42

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-11\end{pmatrix}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine quadratische ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix über ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$. Es sei ${\displaystyle {}\varphi _{1}}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle {}v'=Mv+z_{1}(t)\,}$

und ${\displaystyle {}\varphi _{2}}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle {}v'=Mv+z_{2}(t)\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi _{1}+\varphi _{2}}$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung

${\displaystyle {}v'=Mv+z_{1}(t)+z_{2}(t)\,}$

ist.

Es sei

${\displaystyle {}v'=Mv\,}$

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten zu einer reellen ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix ${\displaystyle {}M}$ und sei ${\displaystyle {}u\in {\mathbb {C} }^{n}}$ ein Eigenvektor von ${\displaystyle {}M}$ zum Eigenwert ${\displaystyle {}\lambda =a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}e^{at}\cos \left(bt\right){\begin{pmatrix}\operatorname {Re} \,{\left(u_{1}\right)}\\\vdots \\\operatorname {Re} \,{\left(u_{n}\right)}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}e^{at}\sin \left(bt\right){\begin{pmatrix}\operatorname {Im} \,{\left(u_{1}\right)}\\\vdots \\\operatorname {Im} \,{\left(u_{n}\right)}\end{pmatrix}}}$ Lösungen des Systems sind.

Es sei

${\displaystyle {}v'=Mv\,}$

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei ${\displaystyle {}L}$ der Lösungsraum dieses Systems und sei ${\displaystyle {}t_{0}\in \mathbb {R} }$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle L\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,\varphi \longmapsto \varphi (t_{0}),}$

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.

Wie transformieren sich in Lemma 42.5 die Anfangsbedingungen?

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&-4\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}.}$

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3\\0&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}.}$

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&-3\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}.}$

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.}$

b) Löse das Anfangswertproblem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,}$

mit der Anfangsbedingung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,.}$

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

b) Löse das Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

mit der Anfangsbedingung ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}}$.

Beschreibe für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,}$

die allgemeine Lösung mit

1. Exponentialfunktionen,
2. Hyperbelfunktionen.

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,}$

Lösungen mit ${\displaystyle {}u(0)=a}$ und ${\displaystyle {}v(0)=b}$, wobei ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {R} }$ sind.

Es sei

${\displaystyle {}v'=Mv\,}$

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten mit einer oberen Dreiecksmatrix ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass es ein Fundamentalsystem von Lösungsfunktionen ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ mit

${\displaystyle {}v_{i}={\begin{pmatrix}v_{i1}\\\vdots \\v_{ii}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,}$

gibt.

Löse die Differentialgleichung

${\displaystyle {}y^{\prime \prime }-2y'+5y=e^{t}\,.}$

Löse die Differentialgleichung

${\displaystyle {}y^{\prime \prime }-y=e^{t}\,.}$

Löse die Differentialgleichung

${\displaystyle {}y^{\prime \prime }-3y'+9y=(t^{2}-8)e^{5t}\,.}$

Löse die Differentialgleichung

${\displaystyle {}y^{\prime \prime }+4y'+6y=(t^{3}+5t+3)e^{2{\mathrm {i} }t}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}v'=Mv}$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in ${\displaystyle {}d}$ Variablen und sei ein Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{d}}$ vorgegeben.

1. Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte ${\displaystyle {}P_{n}}$ im Polygonzugverfahren zum Startpunkt ${\displaystyle {}P_{0}=P}$ und zur Schrittweite ${\displaystyle {}s}$ in dieser Situation.
2. Erstelle eine geschlossene Formel für ${\displaystyle {}P_{n}}$ zur Schrittweite ${\displaystyle {}s}$.
3. Erstelle eine Formel für ${\displaystyle {}P_{n}}$ zur Schrittweite ${\displaystyle {}{\frac {1}{n}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine reelle (oder komplexe) ${\displaystyle {}d\times d}$- Matrix. Zeige, dass

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\exp M&=E_{d}+M+{\frac {1}{2}}M^{2}+{\frac {1}{3!}}M^{3}+\ldots \\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}M^{k}\end{aligned}}}$

im Raum der Matrizen konvergiert.

Es sei ${\displaystyle {}v'=Mv}$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Zeige, dass die Lösung des Anfangswertproblems mit der Anfangbedingung ${\displaystyle {}v(0)=w\in \mathbb {R} ^{d}}$ durch

${\displaystyle {}v(t)={\left(\exp \left(tM\right)\right)}w\,}$

gegeben ist.

Begründe Lemma 42.1 mit Aufgabe 42.20.

Es sei ${\displaystyle {}v'=Mv}$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in ${\displaystyle {}d}$ Variablen und sei ${\displaystyle {}s\in \mathbb {R} }$. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} ^{d},}$

die einem Punkt ${\displaystyle {}w\in \mathbb {R} ^{d}}$ den Ortspunkt zum Zeitpunkt ${\displaystyle {}s}$ der Lösung des Anfangswertproblems ${\displaystyle {}v(0)=w}$ zuordnet, eine lineare Abbildung ist und durch die Matrix ${\displaystyle {}\exp \left(sM\right)}$ beschrieben wird.

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,}$

gleich

${\displaystyle {}\chi _{M}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}D}$ die Ableitung, aufgefasst als Operator^[1]

${\displaystyle D\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto D(f)=f'.}$

Zu einem Polynom ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]}$, ${\displaystyle {}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}}$, betrachten wir den Operator

${\displaystyle P(D)\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto (P(D))(f)=a_{n}D^{n}(f)+\cdots +a_{2}D^{2}(f)+a_{1}D(f)+a_{0}f.}$

Berechne ${\displaystyle {}(P(D))(f)}$ für ${\displaystyle {}P=2X^{3}-4X^{2}+7X-3}$ und ${\displaystyle {}f=x^{4},e^{x},e^{2x},\sin x}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}P(D)}$ eine lineare Abbildung auf ${\displaystyle {}M}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass der Differentialoperator ${\displaystyle {}(D-\lambda )^{n}}$ die Funktionen ${\displaystyle {}x^{j}e^{\lambda x}}$ mit ${\displaystyle {}0\leq j<n}$ auf die Nullfunktion abbildet.

Löse das lineare Anfangswertproblem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&3&2\\0&2&5\\0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}{\begin{pmatrix}v_{1}(0)\\v_{2}(0)\\v_{3}(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.}$

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\v_{4}\end{pmatrix}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}\lambda \in {\mathbb {C} }}$. Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t^{2}+e^{t}\\t\end{pmatrix}}.}$

Löse die Differentialgleichung

${\displaystyle {}y^{\prime \prime }+y'-8y=(t^{2}-4t+7)e^{3t}\,.}$