Diskussion:Matematiskt bevis

I introtexten om bevisens giltighet är det någon icke-matematiker som lagt till detta: " Det har i matematikhistorien vid flera tillfällen hänt, att fel upptäckts i bevis för satser, som tidigare betraktats som giltiga."

Vad ska detta vara bra för?

För det första är det enormt otydligt för en lekman att förstå vad som avses. För det andra så var det aldrig ett bevis från första början, eftersom matematiksamhället hade fel och det bör med all önskvärd tydlighet framgå.

Detta försök att göra matematik till en vetenskap jämförbar med biologi är något jag emotsätter mig och det grövsta. Det framgick väldigt tydligt att ett matematiskt bevis alltid leder till en absolut sanning och att det varar för evigt i den texten jag lade till, varför togs den bort?

Uppenbarligen så måste alla gymnasister och högskoleingenjörer sluta att spekulera i denna artikel och mer professionella matematiker måste bidra.

Önskar diskussion om detta innan jag ändrar för detta stör mig till elände. Ece (diskussion) 10 maj 2013 kl. 10.48‎ 1 januari 2001 kl. 00.00 (CET)(Signatur tillagd i efterhand.)[svara]

JoergenB kan kanske bistå med den sakkunskap du efterlyser. Jag föreslår att du lägger ett meddelande på hans diskussionssida. Riggwelter (disk) 10 maj 2013 kl. 10.55 (CEST)[svara]

Tar det med honom på en gång. Tack för hjälpen! Ece (disk) 10 maj 2013 kl. 11.05 (CEST)[svara]

OK, jag har nu sett frågan, efter en vecka... (jag redigerar "intermittent" på WP, d. v. s. med längre eller kortare uppehåll).

Jag började med att titta i artikelhistoriken, för att se vad det var du lade till som sedan togs bort, Ece. Jag har tyvärr inte lyckats identifiera det. Redigerade du oinloggad eller under annat användarnamn vid det tillfället? (Eller kan du helt enkelt ha glömt att spara dina ändringar? Det har hänt mig vid flera tillfällen!)

Till frågan om matematiska bevis' natur: Jag tycker att både du och den text du kritiserar har rätt, åtminstone till en stor del. "Matematiska bevis" är i allmänhet inte formellt genomförda med det schema (premisser - härledningsschema - slutsatser) som antyds i artikeln. Däremot bör de enligt min åsikt vara möjliga att förvandla till sådana schemata genom att man "fyller i luckor på ett rätt uppenbart sätt". Min åsikt delas dock inte riktigt av alla mina kolleger; och matematiska logiker har ibland en hel del att invända mot vår "bevisföring". Detta krånglar till frågorna litet.

Ett gott matematiskt bevis skall alltså EMÅ helst vara tillräckligt klart för att vara intuitivt förståeligt, åtminstone för en specialist inom det område av matematik som avses, och ändå inte lämna större "luckor" än att samma specialist lätt skall kunna fylla i de detaljer som utelämnats - och kunna utföra detta ända ned till den formella logiska härledningen, om detta skulle behövas. "Publicerade bevis" ser inte alltid ut så, och det är nog också ofta svårt att förena strikt logisk stringens med intuitiv begriplighet. Detta lämnar å andra sidan möjligheten öppen att "bevisen" senare visar sig vara felaktiga. Ibland upptäcks detta först en god tid senare av någon, som går igenom "beviset" just för att åtminstone för egen del försöka "fylla igen luckor".

I det läget visar det sig naturligtvis, precis som du säger, att det "publicerade beviset" faktiskt inte varit ett bevis. Problemet är att detta i formell mening också gäller den stora massan av "publicerade bevis", eftersom de som sagt för det mesta lämnar luckor. Det tycker ju dessutom vi att de skall göra, även i det "ideala fallet" jag beskrev ovan. Vi vill inte överlasta texterna med en stor mängd rutinmässiga härledningsschemata, utan lämnar åt läsaren att gå ned så långt i detalj som "behövs" för just den läsaren. Om beviset är intressant nog och har funnits tillgängligt ett tag, så kommer goda matematiker att ha gjort dessa kontroller, när de läste bevisen (och kanske rekonstruerade delar på egen hand); men inte heller de har då skrivit ned alla detaljer. Därför kan man med få undantag knappast hävda att de "publicerade bevisen" är "riktiga matematiska bevis" i den mening som vår artikel anger; de är snarare bevisskisser.

Det finns faktiskt ytterligare problem, som har att göra med själva de logiska grundvalarna för matematiken. Du känner exempelvis förmodligen till Russelparadoxen. Vad du möjligen inte har uppmärksammat är att vi i vårt "hantverk" normalt ignorerar dessa och liknande typer av problem; vi använder ofta något som ibland kallas "naiv mängdlära". Min erfarenhet är att de flesta matematiker är medvetna om att det finns problem med denna naiva mängdlära, men också om att det finns sätt att undvika dem - till priset av längre och svårbegripligare resonemang. I praktiken nöjer vi oss därför ofta med övertygelsen om att våra resonemang skulle kunna göras stringenta av en expert på matematisk logik; men undersöker detta i detalj bara om och när vi känner på oss att det i en viss situation faktiskt finns en risk för att vi skulle kunna hamna snett.

Slutligen finns oavgörbarhetsproblematiken. Vi kan inte inom ett visst (tillräckligt omfattande) logiskt system visa detta systems motsägelsefrihet. Detta betyder exempelvis att vi inte kan visa att inte vanlig aritmetik med komplexa tal kan ge upphov till logiska motsägelser av typen 1 + 1 = 1. Vad vi däremot kan visa (och har visat) är att i så fall så måste redan vanliga räkningar med naturliga tal kunna ge upphov till sådana motsägelser. Vi kan alltså inte visa motsägelsefrihet. men kan ofta reducera frågan till en så enkel situation att ingen matematiker tror att vi där kommer att kunna träffa på logiska motsägelser.

Har vi fel, och någon exempelvis logiskt oantastligt lyckas härleda slutsatsen 1 + 1 = 1 från Peanos axiomsystem för de naturliga talen, ja då får vi väl klappa igen de matematiska institutionerna världen över:-). (Mycket få matematiker torde dock förlora någon nattsömn av rädsla för att detta skulle inträffa.)

Trots denna "förödande salva" så håller jag nog med dig om att artikeltexten lätt kan missförstås på ett icke önskvärt sätt. Tillräckligt gamla men intressanta resultat har som sagt kontrollerats i tillräcklig detalj; även om det inte alltid finns tillgängliga nedskrivna härledningsschemata. Detta gör att jag och andra matematiker brukar känna oss litet uppgivna när det dyker upp någon ny vinkeltredelare. Jag minns en typisk kommentar (som refererades till mig av en annan matematiker):

"Jag vet att man har bevisat att vinkelns tredelning i allmänhet är omöjlig att utföra; men tänkte de som bevisade detta på den här konstruktionen?"

"Rätt" svar är alltså "De tänkte på alla konstruktioner, utom sådana som direkt kan användas för att bevisa att 1 + 1 = 1".

Det kan nog finnas skäl att nämna problemen med matematiska bevis längre fram i artikeln; men som du skriver är det betydligt viktigare att visa på skillnaderna mellan matematik och ett i grunden empiriskt baserat ämne som biologi. Poppers paradigm är inte alls tillämpbart för matematik; och det har inte heller blivit blivit "mer tillämpbart" på grund av datoriseringen, som några debattörer h��vdar.

Den här artikeln ligger på en litet blandad nivå. Det kan nog delvis bero på dess bakgrund. Om man går tillbaka i historiken för denna artikel och för artikeln bevis, så kan man se att denna artikel är en klipp-och-klstrafortsättning av artikeln bevis, och att den senare artikeln från början snarare låg inom ämnesområdet Jag är inte helt säker på att "flytten" till matematiskt bevis var helt lyckad. Artikelupptakten har också senare "förenklats" på sätt som EMÅ bidragit till problemen; se [ denna redigering].

Jag skall direkt göra en mycket liten ändring för att eliminera den direkta motsägelsen i den mening du pekade på; men annars är jag litet osäker om hur man bäst hanterar det här. Jag skulle dock till att börja med mycket gärna vilja veta hur det var du ville ändra artikeln, Ece. Jörgen B (disk) 18 maj 2013 kl. 00.20 (CEST)[svara]