Pesquisador dos EUA teria solucionado enigma de 50 anos da matemática

Apesar disso, a natureza dessas formas curiosas é tão complexa que gerou um problema matemático durante 50 anos. A questão foi formulada pelos matemáticos estadunidenses Charles Sidney Weaver e Benjamin Rigler Halpern em 1977. Os pesquisadores ficaram intrigados com a seguinte pergunta: qual é a tira de papel mais curta necessária para fazer uma Fita de Möbius?

Agora, quase cinco décadas depois, o também norte-americano Richard Evan Schwartz, matemático da Universidade Brown, nos Estados Unidos, acredita ter finalmente resolvido o enigma. Ele apresentou seus resultados em um artigo ainda não submetido à revisão por pares em 4 de outubro no site ArXiv.

Os autores do enigma, Halpern e Weaver, propuseram um tamanho mínimo para formar a Fita de Möbius, mas não conseguiram provar essa ideia, chamada conjectura de Halpern-Weaver. Em um artigo preliminar registrado no site arXiv em 13 de dezembro de 2020, Schwartz tentou provar essa hipótese.

Porém, o matemático deixou um erro, que corrigiu somente agora em seu mais novo estudo. Com essa correção, ele acredita ter provado a conjectura de Halpern-Weaver de uma vez por todas.

Segundo a revista Scientifican American, o especialista aprendeu sobre o problema cerca de quatro anos atrás, quando Sergei Tabachnikov, um matemático da Universidade Estadual da Pensilvânia, mencionou isso a ele. Schwartz leu um capítulo sobre o assunto em um livro escrito pelo próprio Tabachnikov e por Dmitry Fuchs, da Universidade da Califórnia em Davis.

O norte-americano mostrou que as fitas de Möbius só podem ser construídas com uma proporção de aspecto maior do que a raiz quadrada de 3 (√3), que é cerca de 1,73. Por exemplo, se a tira de papel tiver 1 centímetro de largura, ela deve ser mais comprida do que 1,73 cm.

Em seu trabalho anterior, Schwartz identificou duas linhas retas que são perpendiculares entre si e também no mesmo plano, formando um padrão em forma de T em cada fita de Möbius. "Não é de todo óbvio que essas coisas existam", disse ele.

Então, o próximo passo foi estabelecer e resolver um problema de otimização que envolvia cortar uma fita de Möbius em um ângulo (em vez de perpendicular à borda) ao longo de um segmento de linha que se estendia por toda a largura da fita. Mas o matemático concluiu incorretamente que a forma resultante era um paralelogramo.

Mais tarde, Schwartz descobriu que a forma verdadeira era um trapezoide. Notando seu erro, o matemático ficou incomodado, mas depois se sentiu motivado a usar as novas informações para refazer outros cálculos. "O cálculo corrigido me deu o número que era a conjectura", diz ele. "Fiquei atordoado... Passei, tipo, os três dias seguintes dormindo muito pouco, apenas escrevendo isso."

Finalmente, a pergunta de 50 anos foi respondida: os matemáticos sabem agora o quão curtas as fitas de Möbius podem ser. Por outro lado, eles dizem que não há um limite para o quão longas elas seriam (embora construí-las fisicamente se torne incômodo em algum momento).

Schwartz observa que há ainda outro mistério: o quão curta uma tira de papel pode ser se for usada para fazer uma fita com três torções? Tabachnikov resume essa pergunta em outras palavras: "quais os tamanhos ideais das fitas que fazem um número ímpar de torções?". "Espero que alguém resolva esse problema mais geral em um futuro próximo", ele afirma.