Application of Capacitors to Distribution System and Voltage RegulationAmeen San
Application of Capacitors to
Distribution System and Voltage
Regulation
POWER FACTOR IMPROVEMENT,
System Harmonics
Voltage Regulation
Methods of Voltage Control
1) O documento descreve o uso do método de descargas parciais para diagnosticar cabos de média tensão que alimentam uma aciaria.
2) O método permite detectar falhas nos cabos devido a envelhecimento ou imperfeições de fabricação, possibilitando um plano de manutenção baseado na condição real dos cabos.
3) Sensores instalados nos cabos medem as descargas parciais, permitindo localizar defeitos e avaliar a criticidade por meio de um sistema de semáforo.
1. O documento discute sistemas elétricos trifásicos, incluindo tensões e correntes simétricas e desbalanceadas, tipos de configurações (estrela-estrela, estrela-triângulo), e medição de potência trifásica.
2. É explicado que sistemas trifásicos possuem três fases com tensões defasadas em 120 graus que fornecem vantagens como maior potência e flexibilidade em relação a sistemas monofásicos.
3. Os principais tipos de configurações
O documento discute a conversão de energia entre sistemas elétricos e mecânicos através de acoplamento magnético. A maioria da energia elétrica é gerada e convertida para uso mecânico por máquinas elétricas, como motores de indução utilizados na indústria. Máquinas elétricas mal dimensionadas podem causar desperdício de energia.
This document discusses methods for measuring power in three-phase electrical circuits. It describes the three wattmeter method, where a wattmeter is placed in each phase to measure the power individually, and the readings are summed to obtain the total power. The current coils of the three wattmeters are connected to the respective phases, while the pressure coils are all connected to the neutral point. Each wattmeter will display the power of that individual phase as the product of phase current and line voltage. Adding the three readings gives the total power of the three-phase circuit.
Touch and step potential testing measures the voltage a person could experience from touching grounded objects or taking a step during a ground fault. A ground resistance tester is used to measure resistance values, which are then multiplied by an estimated fault current to calculate potential voltages. Touch potential refers to the voltage between a grounded object touched with one hand while standing in contact with the earth. Step potential is the voltage difference experienced over a one step/one meter distance. The tests involve connecting electrodes in a line to simulate touch or step positions and measuring resistance to calculate potential voltages.
O documento discute conceitos básicos de eletricidade, incluindo eletrostática, potencial elétrico, corrente elétrica e tipos de circuitos. Explica como resistores funcionam em circuitos série e paralelo e as leis de Ohm, Potência e Energia.
The document discusses redesigning LT XLPE cables and HT ABC cables used by a distribution utility to improve reliability. For LT XLPE cables, failures were found to be caused by UV radiation cracking the insulation of red, yellow and blue colored cores. A new design was proposed using black pigment for all cores which is UV retardant. For HT ABC cables, failures were due to sparking between the floating copper screen and messenger wire. A redesign using an aluminum screen that reduces induced voltage was proposed. Technical and economic analysis found both redesigns improved reliability and reduced repair costs. The utility has implemented the LT cable design, filed a patent and proposed changes to product standards.
O documento descreve os componentes e funções de um quadro elétrico residencial, incluindo disjuntores, interruptores e normas de segurança. Explica também como montar um pequeno circuito de iluminação com interruptor e comutadores, passo a passo.
Este documento apresenta a primeira aula de um curso de Resistência dos Materiais. A aula introduz conceitos básicos como definição de Resistência dos Materiais, equações de equilíbrio da estática e carga interna resultante. Exemplos e exercícios são fornecidos para demonstrar o cálculo da carga interna em diferentes situações de carregamento.
Earthing in a substation is important for safety. It involves connecting electrical equipment to earth at a uniform low potential to limit dangerous voltages under fault conditions. Key aspects of substation earthing design include soil resistivity testing, sizing the earth mat conductor based on fault current and duration, and ensuring step and touch potentials remain below safety limits. Proper earthing aims to provide protection to life and property against faults.
1) O documento descreve a aplicação da transformada de Laplace em circuitos elétricos, incluindo circuitos RL, RC e RLC em série e paralelo, durante descargas e resposta a degraus de tensão.
2) São apresentadas as etapas para modelar cada circuito no domínio de Laplace, obtendo expressões para corrente e tensão em função de s.
3) A transformada inversa de Laplace é aplicada para retornar ao domínio do tempo e obter funções exponenciais decrescentes que descrevem o comportamento dos circuitos.
O documento discute conceitos fundamentais de magnetismo e eletromagnetismo, incluindo:
1) Imãs naturais e artificiais, campo magnético e suas propriedades;
2) Eletroímã e como a corrente elétrica produz campo magnético;
3) Unidades como fluxo magnético, densidade de fluxo, força magnetomotriz e intensidade de campo magnético.
O documento discute conceitos fundamentais sobre magnetismo, incluindo os polos de um ímã, campo magnético terrestre e leis de atração magnética. Também apresenta exercícios sobre representação de vetores de indução magnética e força magnética.
Power loss due to Corona on High Voltage Transmission LinesIOSR Journals
This document discusses power loss due to corona on high voltage transmission lines. It presents the relationship between corona parameters and power loss through sample calculations and MATLAB simulations. Corona occurs when the electric field strength exceeds the critical value, causing partial ionization of air. Factors that affect corona include conductor size, spacing, voltage, frequency and weather conditions. Power loss is higher under stormy versus fair weather due to the lower disruptive critical voltage. Methods to reduce corona loss include using bundled conductors, increasing conductor spacing and radius, smoothing conductor surfaces, and underground cables.
O documento descreve os principais conceitos sobre amplificadores operacionais (AOP), incluindo suas características ideais, representação, alimentação, modos de funcionamento como amplificador não-inversor, inversor, somador e diferencial. Também aborda os conceitos de realimentação positiva e negativa, seguidor unitário e uso de resistores de equalização.
O documento descreve os principais componentes e tipos de transformadores elétricos. Um transformador é formado por enrolamentos e um núcleo magnético, e funciona através da indução eletromagnética para transmitir energia elétrica entre circuitos. Existem transformadores monofásicos, trifásicos e de vários tipos como de potência, distribuição e autotransformadores.
O documento explica os conceitos de campo elétrico e gravitacional, comparando suas propriedades. Campos são regiões do espaço onde uma massa ou carga sente força, sendo mediados por linhas de força. Campos elétricos divergem de cargas positivas e convergem de negativas.
This document is a mini project report on the operation and maintenance of a 132/33kV substation. It contains 5 chapters that discuss key topics such as the classification of substations, single line diagrams, descriptions of common instruments in a substation like lightning arrestors, circuit breakers and transformers. It also covers protection for equipment like transformers and feeders. The last chapter provides conclusions and references. The overall document provides a comprehensive overview of the components, functions and maintenance of a high voltage substation.
O documento descreve o campo elétrico, incluindo suas propriedades, como vetor campo elétrico, linhas de força, campo elétrico gerado por cargas pontuais e múltiplas cargas. Exemplos ilustram como calcular o campo elétrico em diferentes situações e a força sobre cargas colocadas nesse campo.
1) O documento descreve o método de análise nodal para circuitos resistivos em corrente contínua (CC). 2) A análise nodal determina as tensões desconhecidas nos nós do circuito através da aplicação da Lei das Correntes de Kirchhoff. 3) O documento apresenta três exemplos de aplicação da análise nodal para diferentes circuitos com múltiplas fontes de tensão e corrente.
O documento descreve diferentes tipos de fontes de alimentação em circuitos elétricos, incluindo fontes ideais e reais de tensão e corrente. Explica como fontes podem ser associadas em série e paralelo, e fornece exemplos de cálculos envolvendo associações de fontes.
O documento descreve os elementos básicos de circuitos elétricos, incluindo componentes ativos e passivos ideais, notação de grandezas elétricas, e conceitos como malha, nó e análise de circuitos. É explicada a convenção passiva e ativa para elementos de circuito de dois terminais e definidos os conceitos de corrente real e convencional.
1) O documento descreve os principais tipos de resistores e suas características, assim como as leis de Ohm e as configurações de resistores em série e paralelo.
2) É explicado como simplificar redes complexas de resistores, utilizando técnicas como resolver associações em série e paralelo e identificar arranjos em triângulo ou estrela.
3) A ponte de Wheatstone, usada para medir resistências desconhecidas, é descrita como um arranjo especial de quatro resistores em losango, que
Este documento apresenta conceitos básicos de circuitos elétricos, incluindo:
1) Definições de corrente elétrica, resistência e classificação de materiais;
2) Lei de Ohm e suas aplicações em circuitos em série e paralelo;
3) Equipamentos de medição como fonte DC, amperímetro e voltímetro.
1. O documento discute princípios de corrente alternada, incluindo ondas senoidais, frequência e período, valores de tensão e corrente, e circuitos resistivos de CA.
2. Também aborda potência ativa, reativa e aparente em sistemas CA, relações de tensão e corrente em transformadores, e sistemas trifásicos em configurações delta e estrela.
3. Fornece exemplos numéricos para ilustrar os conceitos discutidos.
1) O documento descreve métodos de análise de circuitos elétricos CC usando análise por corrente de malha.
2) A análise por corrente de malha envolve aplicar a Lei das Tensões de Kirchhoff em cada malha para obter equações que podem ser resolvidas para encontrar as correntes desconhecidas.
3) Os exemplos mostram como aplicar o método para vários circuitos com diferentes configurações de fontes.
Unidade Curricular Modelagem e Simulação de Sistemas Elétricos e Magnéticos.pdfJeffersonMonteiro46
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de circuitos elétricos, incluindo leis de Ohm, Kirchhoff, componentes em série e paralelo, métodos de análise como redução e retorno, e exemplos de exercícios resolvidos. Os professores abordam tópicos como leis de circuitos, tipos de conexão, análise de circuitos mistos e recomendam bibliografia para o curso.
O documento apresenta os principais tópicos sobre circuitos elétricos: 1) unidades, corrente e tensão; 2) energia e potência; 3) lei de Ohm e leis de Kirchoff; 4) resistores e associação; 5) divisores de tensão e corrente; 6) medições e transformações ΔΥ. O texto define conceitos básicos de eletricidade e apresenta exercícios para aplicação das leis e conceitos apresentados.
1) O documento descreve um experimento sobre circuitos de corrente alternada, introduzindo conceitos como impedância, reatância capacitiva e indutiva.
2) É estudado o comportamento de circuitos puramente resistivos, capacitivos e indutivos sob tensão alternada, analisando a relação entre tensão e corrente nesses circuitos.
3) Introduz a notação complexa para análise de circuitos, onde tensão e corrente são expressas como números complexos, simplificando os cálculos.
(1) O documento discute circuitos de corrente alternada, introduzindo conceitos como impedância, reatância capacitiva e indutiva. (2) Circuitos resistivos mantêm a tensão e corrente em fase, enquanto circuitos capacitivos e indutivos introduzem um desfasamento de π/2 entre tensão e corrente. (3) A impedância de um circuito resistivo é real, enquanto circuitos reativos possuem impedâncias imaginárias devido à reatância capacitiva ou indutiva.
O documento descreve diferentes tipos de circuitos retificadores e fontes de alimentação, incluindo: (1) retificador de meia onda usando um transformador e diodo, (2) retificador de onda completa usando um transformador com derivação central e dois diodos, e (3) retificador em ponte usando quatro diodos. Também discute como usar um capacitor para filtrar a saída dos retificadores e produzir uma tensão contínua mais limpa para alimentar circuitos eletrônicos.
O documento descreve os conceitos básicos de corrente elétrica, incluindo: (1) diferença de potencial e corrente elétrica; (2) intensidade de corrente; (3) resistência elétrica e lei de Ohm; e (4) associação de resistores em série e paralelo.
O documento descreve os principais parâmetros a serem estudados em circuitos elétricos CA em série, incluindo triângulos de impedância, tensão e potência. Circuitos em série são divisores de tensão com a mesma corrente em todos os elementos. A impedância total é dada pela soma das impedâncias dos elementos.
Este documento discute conceitos fundamentais de eletricidade como tensão, corrente, potência e resistência elétrica. É dividido em 4 capítulos que abordam grandezas elétricas, elementos ativos e passivos, leis de Kirchhoff e métodos de análise de circuitos.
Este documento discute conceitos fundamentais de eletricidade como tensão, corrente, potência e resistência elétrica. É dividido em 4 capítulos que abordam grandezas elétricas, elementos ativos e passivos, leis de Kirchhoff e métodos de análise de circuitos.
O documento fornece informações básicas sobre eletricidade, abordando tópicos como: átomo, eletricidade estática e dinâmica, corrente elétrica, tensão, resistência, circuitos elétricos, lei de Ohm, tipos de circuitos, magnetismo e eletromagnetismo.
(1) O documento descreve oscilações eletromagnéticas em circuitos LC e RLC, incluindo circuitos sem resistência e com resistência. (2) É explicado como a energia se transfere entre os campos elétrico e magnético em um circuito LC oscilante. (3) Oscilações em circuitos RLC sob excitação forçada são analisadas usando diagramas fasoriais.
1) O documento apresenta os principais conceitos e elementos da disciplina Eletrônica I, incluindo circuitos RC e RL, transformadores, impedância e admitância.
2) São descritos os modelos de parâmetros concentrados e distribuídos para análise de circuitos, assim como as leis de Kirchhoff e os elementos passivos lineares básicos.
3) O documento fornece as definições iniciais e grandezas fundamentais da teoria de circuitos para análise de sistemas lineares de primeira ordem.
1) A carga elétrica é uma propriedade da matéria que causa atração ou repulsão entre corpos.
2) A quantidade de carga elétrica em um corpo é sempre múltipla da carga elementar do elétron ou próton.
3) Em um sistema isolado, a carga elétrica total é conservada, ou seja, não é criada ou destruída carga, apenas há movimento de carga entre os corpos.
A - MATEMÁTICA PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS CA edição.pdfPedro Barros Neto
O documento apresenta conceitos fundamentais de análise de circuitos elétricos em corrente contínua e alternada, incluindo: (1) ferramentas matemáticas como fatoração de polinômios e geometria no círculo; (2) trigonometria no triângulo retângulo e funções trigonométricas circulares; (3) conceitos de frequência e período.
1. O documento discute a função de manutenção industrial, definindo termos como ativo, gestão de ativos, confiabilidade, disponibilidade e manutenibilidade.
2. São descritos os tipos de manutenção como preventiva, corretiva programada e emergencial, com foco no planejamento e programação destas atividades.
3. É explicado o uso de um sistema de gestão da manutenção e ordens de serviço para planejar recursos e executar tarefas de manutenção de forma eficiente.
Disciplina do curso de formação de piloto de avião. Aeronaves: tipos construtivos. Superfícies de comando de voo. Tipos de motores aeronáuticos. Sistemas de energia: elétrico, pneumático e hidráulico. Combustíveis. Lubrificação de motores. Edição revisada em novembro de 2021.
O documento apresenta uma introdução à meteorologia aeronáutica, descrevendo sua estruturação mundial e no Brasil, a importância das informações meteorológicas para a aviação e as fases do trabalho da meteorologia aeronáutica, incluindo a estrutura da Rede de Meteorologia do Comando da Aeronáutica brasileiro.
O documento descreve os principais conceitos de navegação aérea, incluindo:
1. Os diferentes métodos de navegação como navegação por contato, estimada, radiogoniométrica e eletrônica.
2. As características da Terra como sua forma esférica, movimentos de rotação e translação, zonas climáticas e meridianos.
3. Unidades de medida e instrumentos básicos para navegação aérea.
Este documento apresenta os principais conceitos de física aplicados à teoria do voo, incluindo: 1) a distinção entre grandezas escalares e vetoriais e operações com vetores; 2) os conceitos fundamentais de cinemática como posição, velocidade, aceleração e movimento; e 3) as forças que atuam sobre aeronaves, como peso, sustentação e arrasto. O documento também discute tópicos como aerodinâmica, sistemas de eixos, estabilidade e desempenho de voo.
Ferrovia, superestrutura, equipamentos, Geometria de linha, Socadora de linha, Bancas de socaria, Alinhamento, nivelamento longitudinal e transversal, aferição de bancas, aferição do alinhamento, aferição do nivelamento longitudinal e transversal.
O documento descreve a análise de um circuito de aquecedor de para-brisas traseiro usando resistores impressos no vidro. Ele estabelece as relações entre os resistores com base na distribuição simétrica da temperatura e calcula os valores dos resistores para um exemplo prático.
1) O documento discute equações transcendentais e a função Lambert, que são equações na forma y=xex ou y=x±ex.
2) A função Lambert é matematicamente complexa e requer expansões em série e integrais não resolúveis analiticamente.
3) Apesar da complexidade, aplicativos como Symbolab, Wolfram Alpha e Mathematica resolvem problemas transcendentais usando a função Lambert "W" de forma automática.
1) O documento descreve a definição matemática de convolução em sinais contínuos e conceitos de sistemas lineares e invariantes no tempo.
2) A convolução entre dois sinais é calculada integrando o produto de um sinal de entrada pelo outro sinal deslocado no tempo.
3) Exemplos ilustram o cálculo da convolução passo a passo para diferentes sinais de entrada e resposta ao impulso.
O documento descreve um circuito LC e RLC no regime natural. Um circuito LC oscila sinusoidalmente com uma frequência natural f0. Ao adicionar um resistor, forma-se um circuito RLC cuja tensão decai exponencialmente. Há três tipos de resposta transitória dependendo do fator de qualidade Q: sobre amortecida, criticamente amortecida e subamortecida.
1) O documento descreve o comportamento de um circuito indutivo sob tensão CA senoidal, onde a corrente está atrasada em relação à tensão por π/2 radianos.
2) A corrente instantânea no indutor é diretamente proporcional à tensão de pico e inversamente proporcional à indutância e frequência.
3) Em um indutor ideal, há apenas troca de potência reativa entre a fonte e o indutor, sem produção de trabalho, devido à defasagem de π/2 radianos entre tensão e
O documento descreve conceitos fundamentais de impedância e admitância em circuitos elétricos de corrente contínua e alternada. Explica que a impedância é a oposição à circulação da corrente causada por resistores e componentes reativos, representada por Z=R±jX. Também define admitância como o inverso da impedância, representada por Y=1/Z, utilizada para analisar circuitos com elementos em paralelo. Por fim, apresenta fórmulas para calcular as reatâncias capacitiva e indutiva e suas susceptâncias correspondentes.
1) O documento discute capacitores elétricos e suas propriedades. Um capacitor é composto por placas condutoras separadas por um material isolante. 2) A capacitância de um capacitor representa a quantidade de carga elétrica que pode ser armazenada entre suas placas a uma determinada tensão. 3) A presença de um material isolante entre as placas aumenta a capacitância do capacitor, permitindo que mais carga seja armazenada à mesma tensão.
Este documento descreve os principais instrumentos para medição de grandezas elétricas como tensão, corrente e potência em circuitos CC e CA. Detalha os tipos de sensores e instrumentos analógicos e digitais utilizados, incluindo galvanômetros, amperímetros, voltímetros e outros. Explica também como esses instrumentos funcionam e medem valores eficazes de tensão, corrente e potência em sistemas de corrente alternada.
O documento discute a navegação aérea sob condições de voo por instrumentos (IFR). Aborda os equipamentos de rádio terrestres usados para navegação convencional IFR, como VOR, NDB e ILS. Também explica conceitos chave de navegação IFR e fornece exemplos de cálculos e procedimentos.
1. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
1 – TEORIA DA CORRENTE ELÉTRICA
Corrente elétrica I – é a taxa temporal do fluxo de cargas elétricas q através de um meio
condutor, expressa por: I =
dq
dt
, com “t” em segundo e “q” em coulomb.
Unidade de medida: ampere A ou coulomb / segundo.
A medição da corrente elétrica é feita com o amperímetro (ver medições elétricas).
Como é impossível medir diretamente a quantidade de cargas elétricas em movimento, buscou-se
um meio indireto de medir a intensidade da corrente elétrica pelo seu efeito (Lei de Oerested): um
condutor percorrido por corrente elétrica cria um campo magnético ao seu redor, capaz de interagir
com um campo magnético próximo.
Definição do ampere no SI: esta definição é obtida em laboratório com a utilização da “balança de
corrente elétrica”.
Dois condutores retos, compridos e paralelos, separados de 1m no vácuo, quando percorridos por
uma corrente de 1 ampere são atraídos com uma força de 2 x 10 -7
N, por metro dos condutores.
Portadores de cargas elétricas - somente os elétrons −q podem se movimentar na estrutura
molecular dos materiais condutores, semicondutores dopados e no vácuo, mas o estudo da
eletricidade pode ser feito com dois tipos portadores:
• Corrente real: considera-se que a corrente elétrica se dará com cargas elétricas negativas,
que se deslocam do potencial maior (polo negativo da fonte, onde há excesso de elétrons)
para o potencial menor (polo positivo da fonte, onde há escassez de elétrons)
−V → +V .
• Corrente convencional: Considera-se que a corrente elétrica se dará com cargas elétricas
positivas +q ou lacunas, que se deslocam no sentido oposto à corrente real, indo do
potencial maior (polo positivo da fonte, onde há excesso de lacunas) para o potencial menor
(polo negativo da fonte, onde há escassez de lacunas) +V → −V .
As lacunas são portadores virtuais de cargas elétricas positivas.
Nota: a palavra “carga” pode ser utilizada para citar partículas elétricas elementares q (charge,
em Inglês), ou para citar um consumidor elétrico resistivo (resistor de carga) RL , onde L
significa load, em Inglês.
Tensão elétrica V ou força eletromotriz Ԑ – uma fonte de tensão bipolar prática é um
dispositivo elétrico onde alguma forma de energia vai provocar uma contínua separação das cargas
elétricas opostas, fazendo com que as cargas iguais se acumulem em cada um dos seus terminais,
provocado o aparecimento de uma diferença de potencial elétrico Ue entre eles, proporcional à
energia dispendida na separação das cargas. Essa diferença de potencial nos terminais da fonte será
transformada em energia elétrica quando houver um circuito condutor que permita que as cargas
elétricas se desloquem externamente do terminal de potencial mais alto V ⁺ para o de potencial
mais baixo V ⁻ , buscando uma condição de equilíbrio, e ao mesmo tempo produzindo trabalho.
Isso significa que uma determinada forma de energia é empregada para criar a diferença de
potencial elétrico, que por sua vez será convertida em energia elétrica.
1
2. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Definição da tensão elétrica – é a razão entre a energia potencial elétrica e a quantidade de
cargas elétricas portadoras acumuladas: V =
Ue
Q
. Unidade de medida: volt V , ou joule
por coulomb.
A medição da tensão elétrica é feita com o voltímetro, através da medição dos efeitos da corrente
elétrica imposta por essa tensão no elemento sensor. (ver medições elétricas).
Circuito elétrico - caminho físico fechado contendo condutores e elementos de circuito conectados
entre si.
Corrente contínua CC ou direct current DC – a circulação das cargas elétricas no circuito
é sempre no mesmo sentido. No caso da corrente convencional, sai do terminal positivo +V , e
retorna para o terminal negativo −V . Num circuito real poderá haver mudanças nas amplitudes
da corrente e/ou da tensão, mas o sentido será sempre o mesmo.
Elevação de tensão – voltage raise Vr (Fig. 01-01) - ocorre internamente, entre os terminais de
uma fonte de tensão Vf ou de corrente If que esteja fornecendo potência. No caso da corrente
convencional, a corrente do circuito entra no terminal de menor potencial V ⁻ e sai no terminal
de maior potencial V ⁺ .
Fontes fornecendo potência com o negativo aterrado (0 V) : a tensão e a corrente no circuito serão
algebricamente positivas e a elevação de tensão será negativa:
• Para fonte de tensão: VrVf =−[(V +
)−(V−
)] ou VrVf =−Vf .
• Para fonte de corrente: VrIf =−[ If Rcarga] .
Fontes fornecendo potência com o positivo aterrado (0 V): a tensão e a corrente no circuito serão
algebricamente negativas e a elevação de tensão Vr será positiva:
• Para fonte de tensão: VrVf =[(V+
)−(V−
)] ou VrVf =V f .
• Para fonte de corrente: VrIf = If Rcarga .
Queda de tensão – voltage drop Vd (Fig. 01-02) - ocorre internamente, entre os terminais de
um elemento de circuito tipo consumidor, passivo ou ativo. No caso da corrente convencional, a
2
3. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
queda de tensão ocorre quando a corrente entra no terminal de maior potencial V ⁺ e sai no
terminal de menor potencial V ⁻ .
Tensão e corrente algebricamente positivas Vd será positivo.
• Para elemento passivo: Vd = I . R .
• Para fonte de tensão como consumidora: Vd =Vf .
• Para fonte de corrente como consumidora: Vd= If Rcarga .
Tensão e corrente algebricamente negativas Vd terá valor negativo:
• Para elemento passivo: Vd=(−I ). R .
• Para fonte de tensão: Vd=−Vf .
• Para fonte de corrente: Vd=(−If ) Rcarga .
Lei das tensões de Kirchhoff - LTK com
corrente convencional: numa malha, a soma
algébrica de elevação de tensão com a
queda de tensão será zero:
LTK → Vr+Vd=0 .
Exemplo (fig. 01 - 03): Um circuito com
duas malhas, e cada malha com uma fonte de
12 V alimentando um resistor de 4 ohm.
Na malha 1 a fonte está com o negativo
aterrado: a corrente e a queda de tensão na
carga são positivas.
• Elevação de tensão da fonte:
VrVf 1 =−[(V +
)−(V −
)] VrVf 1 =−[12V −0V ] ou VrVf 1 =−12V .
3
4. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
• Corrente da malha 1, dada pela lei de ohm: I1 =
V f 1
R
I1 =
12V
4Ω
ou I1 =3 A .
• Queda de tensão na malha 1: Vd= I . R Vd=3 A x4 Ω ou Vd =12V .
• LTK1 →Vr+Vd= 0 ou LTK1 →−12+12=0 .
Na malha 2, a fonte está com o positivo aterrado: a corrente e a queda de tensão na carga são
negativas.
• Elevação de tensão da fonte: VrVf 2=[(V
+
)−(V
−
)] VrVf 2=[0V−(−12V)] ou
VrVf 2= 12V .
• Corrente da malha 2, dada pela lei de ohm: I2 =−[V f 2
R ] I2 =−
12V
4Ω
ou
I2 =−3 A .
• Queda de tensão na malha 2: Vd=(−I ). R Vd=(−3 A)4Ω ou Vd =−12V .
• LTK2 →Vr +Vd=0 ou LTK2 → 12+(−12)=0 .
Exemplo da associação de duas fontes de corrente provocando tensões opostas nas cargas .
(Fig. 01 - 04)
Dados: duas fontes de corrente de 6 A e dois resistores de 3Ω
As duas fontes estão na configuração de fornecedoras
de potência, pois as correntes estão no sentido do
menor para o maior potencial.
If 1 , com a entrada (-) aterrada, fornecerá uma
corrente (+), o que vai causar uma queda de tensão
positiva sobre R1 pois Vd = IR Vd =6 x3
Vd =18V . A elevação de tensão entre os terminais
de If 1 será negativa. Assim, a LTK será:
VrIf 1+Vd =0 ou −18V+18V =0 .
If 2 , com a saída (+) aterrada, fornecerá uma
corrente negativa, que vai causar uma queda de tensão
negativa sobre R2 pois Vd =(−I )R
Vd =(−6)3 Vd =−18V .
A a elevação de tensão entre os terminais de If 2 será positiva. Assim, a LTK será:
VrIf 2+Vd =0 ou 18V−18V =0 .
4
5. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Potência dos elementos ativos em CC
Considerando a corrente convencional:
Para fonte de tensão na configuração de fornecedora, a potência será negativa:
• Corrente positiva: PVf =(VrVf ) I com VrVf =−Vf .
• Corrente negativa: PVf =(VrVf )(−I ) com VrVf =V f .
Para fonte de corrente, considerar que a elevação de tensão nos seus terminais é determinada pela
aplicação da LTK na malha: VrIf + VdRL =0 , e assim, a potência fornecida será negativa:
• Corrente positiva: PIf =VrIf . If com VrIf =−VdRL .
• Corrente negativa: PIf =VrIf (−If ) com VrIf =VdRL .
Para fonte de tensão na configuração de consumidora, a potência será positiva:
• Corrente positiva: PVf =(VdVf ) I com VdVf =Vf .
• Corrente negativa: PVf =(VdVf )(−I ) com VdVf =−Vf .
Para fonte de corrente, considerar que a queda de tensão nos seus terminais é positiva, pois é
provocada por uma corrente inversa (negativa), forçada por outra fonte:
• A potência consumida será positiva: PIf =VdIf (−If ) .
Potência dos elementos passivos em CC
Considerando a corrente convencional.
• A potência será sempre positiva, para corrente de qualquer polaridade: PRL = I ²RL ou
PRL =(−I ²)RL .
Corrente alternada CA ou alternating current AC
Corrente alternada sinusoidal – um gerador prático de CA , ou alternador, fornece uma tensão
variável em amplitude e polaridade, oscilando ciclicamente ao redor de zero volt, entre um valor de
pico positivo +VP e um de pico negativo -V P . O terminal ativo de um alternador recebe o
nome de “fase” . Num alternador trifásico ligado em “Y” (estrela), o terminal de fechamento, ou
“zero volt” é denominado de retorno ou neutro, e geralmente é aterrado para garantir a referência
de terra.
Quanto ao número de fases, um alternador comercial pode ser:
• Monofásico – dois terminais de saída, um dos quais é a referência para o terminal oposto. A
relação de fase entre os terminais de saída é de 180°ouπ rad .
• Bifásico – três terminais de saída, um dos quais é a referência (neutro) para os outros dois
terminais e cujas tensões são defasadas entre si, de 90° ou π rad .
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6. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
• Trifásico – quatro terminais de saída, um dos quais é a referência (neutro ou centro estrela)
para os outros três terminais e cujas tensões são defasadas entre si, de 120° ou
2π
3
rad .
Notas:
1- Diferente das fontes eletroquímicas de CC (baterias e pilhas), os alternadores não devem ser
ligados em série, e para ligá-los em paralelo, num mesmo barramento, devem ter as mesmas
frequências e as mesmas tensões.
Sincronização de dois alternadores em paralelo:
• Dispor de um voltímetro conectado entre os dois alternadores, nas saídas das fases idênticas;
• Colocar um deles operando na frequência nominal, e então ajustar a frequência do outro até
que o voltímetro marque “zero volt”, quando estarão sincronizados e podem ser conectados
ao barramento.
2- Os alternadores veiculares são polifásicos, com uma ponte retificadora de diodos para entregar
CC na sua saída, geralmente 14 V para baterias de 12 V e 28 V para baterias de 24V.
3- Em elementos de circuito do tipo monofásico (bipolo), os sinais
de polaridade instantânea (+ e -) são colocados nos terminais dos
seus símbolos.
Fontes CA monofásicas, como elementos de circuito (Fig. 01 –
05)
São modelos matemáticos, onde a tensão ou corrente nominais não
são afetados pela carga do circuito consumidor, seguindo o mesmo conceito dos elementos
estudados em corrente contínua.
• Dois terminais.
• A polaridade instantânea (+) , anotada ao lado do símbolo, indica o pico do semiciclo
positivo, para determinação do sentido da corrente instantânea i(t) .
• A frequência em Hertz Hz ou em radianos por segundo ω .
• O valor eficaz da tensão V ou da corrente I .
2.4 – Grandezas elétricas sinusoidais
As grandezas elétricas CA são denominadas sinusoidais porque suas amplitudes (A) alternam-se
periodicamente entre valores positivos e negativos, diretamente proporcionais às funções
trigonométricas seno e ou cosseno:
• Se o gerador é rotativo (alternador eletromecânico), ele funciona pelo princípio da indução
eletromagnética, onde o formato das sapatas polares do indutor é feito de forma que o fluxo
magnético sobre os estatores, se dê de forma senoidal.
• Se o gerador é estático (inversor eletrônico), são usadas técnicas de modulação para chavear
elementos de potência, que a partir de um barramento de CC vai produzir uma tensão
sinusoidal sintetizada.
Nota: a energia elétrica comercial é gerada na forma senoidal mas sofre deformações nos pontos de
utilização, em função de distorções impostas por cargas reativas comutadas ou chaveadas. Para o
escopo deste estudo as grandezas elétricas serão consideradas sinusoidais puras.
6
7. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Domínio do tempo – Ocorre quando trabalhamos com as amplitudes instantâneas das grandezas
sinusoidais, cujos valores são representados na forma a(t ) , onde a é a amplitude
instantânea e t é o tempo, em segundos.
Período ou Ciclo T – é a duração de uma variação completa da amplitude instantânea de uma
grandeza elétrica sinusoidal. Unidade de medida: segundo (s).
Frequência f – é o número de ciclos ocorridos a cada
segundo.
Unidade de medida: Hertz (Hz).
Relação entre período e frequência: f =
1
T
(Hz) ou
T =
1
f
(s)
A Fig. 01 – 06 mostra os valores instantâneos importantes
a(t ) de uma senoide no plano cartesiano (Amplitude
A x tempo t ):
• a(T /4) : ponto do máximo positivo ou pico positivo + AP ;
• a(0) , a(T /2) e a(T ) : pontos de cruzamento por zero (zero crossing);
• a(3T /4) : ponto do máximo negativo ou pico negativo −AP ;
Domínio fasorial – (Fig. 01- 07) Se a projeção de um ponto p em movimento circular uniforme
pode ser representada num plano cartesiano (Amplitude A x posição angular instantânea
ω t =θ como uma onda sinusoidal, a recíproca é verdadeira: um ponto (p), que represente a
amplitude angular instantânea a(ω t) de uma onda sinusoidal, pode ser representado pela sua
projeção numa trajetória circular, no sentido anti-horário, cujo raio (r) será a amplitude máxima
A definida: de pico ou RMS.
Fasor - é um ente matemático bidimensional com características de número complexo e de vetor,
que representa a posição angular instantânea ω t =θ de grandezas sinusoidais sob a mesma
frequência. Serve para determinar as relações de fase entre grandezas sinusoidais diferentes, dentro
de um período angular. T=2π rad .
Notação do fasor: A =( A cos ϕ)+[ A (± j sen ϕ)] onde:
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8. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
• O fasor é simbolizado por uma letra em negrito.
• A é o módulo da amplitude com valor RMS. Se trabalharmos com amplitude de pico,
será AP .
• Pode ser representado graficamente no plano complexo ou no plano polar.
• No plano complexo, a grandeza de referência, com fase zero, é plotada no eixo dos Reais e
uma outra grandeza defasada será representada pelo ângulo ± jϕ .
• Componentes: Real ℜ= A .cosϕ e Imaginária ℑ= A(± j senϕ ) .
• Considerando-se um fasor sobre o eixo real positivo como referência angular ω t = 0rad ,
um outro fasor, plotado acima do eixo dos Reais positivos ω t + jϕ , estará atrasado, e se
plotado abaixo desse eixo ω t− jϕ , estará adiantado.
• Nas operações de soma e subtração de fasores o resultado é sempre outra grandeza
sinusoidal.
• Só é possível a multiplicação de um fasor pelo “conjugado” do outro fasor. (ver ferramentas
matemáticas para CA).
• Operar fasores é mais simples do que operar funções trigonométricas, pois requer apenas a
álgebra dos números complexos.
Deslocamento ou posição angular (theta) θ ou ω t : medido em radiano, associa a posição
do fasor no período angular 2π .
Velocidade ou frequência angular (ômega) ω= θ
t
rd/ s : medido em rad / s indica o
deslocamento angular por unidade de tempo.
Relação da velocidade angular com a frequência linear: ω=2π
1
T
ou ω=2πf .
Início do período de uma grandeza sinusoidal ou fase inicial (δ ) delta (Fig. 01 – 08) – O
“ponto importante” adotado para o início do período t=zero segundo ou ω t =zero radiano
de uma grandeza sinusoidal, pode ser escolhido como segue:
• Para uma senoide: o ponto em que sua amplitude instantânea cruza por zero volt, subindo
do negativo para o positivo: a(0)=0V .
• Para uma cossenoide: o ponto em que sua
amplitude instantânea alcança o valor de pico
positivo a(0)=+V P .
• Quando uma grandeza sinusoidal é
representada isoladamente, e não está
iniciando no “ponto importante”
convencionado, deve-se levar em conta a
“fase inicial” (delta) δ em radianos
v(ω t)=Vp.sen (ω t ±δv) e i(ω t)=Ip .sen (ω t±δi) onde:
◦ +δ representa fase inicial atrasada (inicia depois do ponto “zero”): ϕ0 =ω t +δ .
◦ −δ representa fase inicial adiantada(inicia antes do ponto “zero”): ϕ0 =ω t −δ .
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9. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Relação de fases entre duas grandezas em CA, ou defasagem ϕ (letra grega “fi” minúscula) –
A tensão e a corrente nem sempre vão oscilar simultaneamente num circuito, por isso deve haver
uma referência entre seus instantes iniciais, para se estabelecer a relação angular ou temporal entre
suas respectivas amplitudes instantâneas.
Quando adotamos a corrente do circuito como referência de fase, com δi =0rd , o ângulo de fase
da tensão representa sua fase inicial: ϕ=δv .
Na análise fasorial devemos considerar os seguintes pontos:
• As grandezas devem estar sob a mesma frequência;
• Nos circuitos em série, a corrente pode ser tomada como referência fasorial δi =0rd e
neste caso, teremos: i(ω t)=I cos (ω t) .
• Nos circuitos em paralelo, a tensão pode ser tomada como referência fasorial δv =0rd e
neste caso, teremos: v(ω t)=V cos (ω t) .
• Nos circuitos polifásicos, escolhe-se uma das fases como referência angular, ou fase “1”.
• os cálculos de defasagem devem ser feitos em radianos, embora o resultado final possa ser
transformado para graus.
• A faixa da defasagem entre corrente e a tensão de um elemento ideal de circuito está contida
no intervalo:
π
2
≥ ϕ ≥ (−π
2
) , o que no plano complexo, representa
j ≥ ϕ ≥ (− j) .
Exemplo (Fig. 01 - 09) Dados:
• Módulo dos fasores A, B e C
r=6ud .
• Fasor B é a referência de fase
ϕ B =0 rd .
• cos0rd=1 .
• sen 0rd=0 .
B =6 ( cos ϕ ±j sen ϕ) sendo suas
componentes: ℜ=6(1) ou ℜ=6 e ℑ=6(0) ou ℑ=0 .Então: B=B=6ud
Neste caso, o fasor é dado somente pelo módulo.
Fasor A adiantado do fasor B .
• Fase + j ϕ = π
6
rd .
• cos
π
6
=0,866 .
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10. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
• + j sen
π
6
=0,5
A =6 ( cos
π
6
)+6( j sen π
6
) sendo suas componentes: ℜ=6(0,866) ou ℜ=5,196 e
ℑ= 6(0,5) ou ℑ=3 .
Notação exponencial: A =6e
j
π
6
.
Notação polar: A =6∠ π
6
rd .
Fasor C atrasado do fasor B .
• Módulo C=6ud .
• Fase −j ϕ =−π
6
rd .
• cos−π
6
=0,866rd .
• −jsen π
6
=−0,5rd .
C =6 ( cos −π
6
)−6( j sen π
6
) sendo suas componentes: ℜ=6(0,866) ou ℜ=5,196
e ℑ= 6(−0,5) ou ℑ=−3 .
Notação exponencial: C =6 e
−j
π
6
.
Notação polar: C =6∠ −
π
6
rd .
Se considerarmos os elementos ideais de circuito e adotarmos a corrente I como referência de
fase δi =0 rd , teremos três casos de defasagem das tensões sobre esses elementos (Fig. 01- 10) :
Nota: no gráfico trigonométrico usa-se a senoide para representar a corrente do circuito, de forma
que o início do período ωt=0 rd seja a passagem por zero para positiva. Isso permitirá que o
fasor da corrente fique também no eixo horizontal do plano complexo. Por outro lado é mais
conveniente utilizar a função cosseno para a análise, por ser uma função par, o que facilitará a
manipulação algébrica.
1. Tensão em fase com a corrente (reatância zero): ϕ=δv ou ϕ =0 rd
É a característica de um circuito com predominância resistiva, ou onde as reatâncias são opostas
XL=XC .
10
11. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Significa que o fasor da tensão coincide com o fasor da corrente (referência), portanto não existirá o
ângulo de defasagem ϕ e o fasor da tensão será apenas o módulo: VdR =VdR
2. Tensão adiantada em relação à corrente
É a característica de um circuito com predominância indutiva, onde a tensão é adiantada em relação
à corrente 0 < δv < π
2
. Como ϕ=δv , a defasagem será +ϕ . O fasor da queda de tensão na
carga, será : V dL =V cos ϕ +V ( j sen ϕ) com as componentes complexas: ℜ=V cosϕ e
ℑ= V (+ j senϕ ) .
3. Tensão atrasada em relação à corrente - ϕ :
É a característica de um circuito com predominância capacitiva, onde a tensão é atrasada em relação
à corrente 0 > δv >
[−π
2 ] . Como ϕ=−δv , a defasagem será −ϕ .
O fasor da queda de tensão na carga, será : V dC =V cos (ϕ)+V (− j sen ϕ) onde as
componentes complexas serão: ℜ=V cosϕ e ℑ=V (− j senϕ ) .
Como o cosseno é função par, no termo Real é indistinto o sinal do ângulo de defasagem
cosϕ =cos−ϕ .
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12. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Função Exponencial complexa periódica
O fasor pode ser representado na forma exponencial complexa, a partir da forma trigonométrica
z =r ( cos ϕ ± j sen ϕ) , através da fórmula de Euler z =r.e(± j ϕ)
onde:
• e → número de Euler 2,718281828459...
• ϕ → ângulo de fase entre corrente (referência) e tensão.
• ± j é o operador da parte imaginária.
Ver o capítulo “Ferramentas matemáticas para corrente alternada”.
Valores médios das grandezas sinusoidais
Média de um ciclo (Fig. 01 – 11) - Uma tensão senoidal com fase inicial δv =0rd tem seu valor
instantâneo dado por: v(ω t)=Vp.sen (ω t ) onde ωt=θ .
Ao longo de um ciclo T =0→2π , a tensão média terá suas
amplitudes instantâneas passando por valores de pico de polaridades
opostas, distribuídas simetricamente ao redor do eixo do tempo, assim,
teremos áreas iguais e opostas entre o gráfico da função e o seu eixo de
desenvolvimento, cuja integração será “zero”.
Exemplo da tensão senoidal média: Vmed =
1
T
∫
0
T
V P sen (θ )dθ
colocando a constante VP fora do integrando, e fazendo a integração:
Vmed =
VP
T
|−cos θ | 2π
0
Vmed =
VP
T
(−cos 2π)−(−cos 0) Vmed =
VP
T
[(−1)−(−1)] ou
Vmed =0V .
Média de um semiciclo (Fig. 01 - 12) – se integrarmos apenas o
semiciclo positivo, de T =0→π , teremos um valor positivo da
área. Esta condição tem aplicação prática na retificação da corrente
alternada. Do exemplo anterior, basta substituir os limites de
integração para termos outro valor: Vmed =
VP
T
|−cosθ | π
0
Vmed =
VP
π
[(−cos π )−(−cos0)] Vmed =
VP
π
[(1)−(−1)]
Vmed =
2
π
V P Vmed =0,637V P .
Média quadrática – Se tomarmos a expressão da corrente instantânea senoidal i (ωt )= Ip senθ
e elevarmos os dois termos ao quadrado, teremos: i2
(ωt)= Ip2
sen2
θ cuja curva será também
uma senoide, mas que oscilará somente na região positiva e terá o dobro da frequência 2ω .
12
13. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
A corrente média quadrática IMQ será o valor da altura de um quadrilátero S , de base
b=T =2π , onde a área do quadrilátero será obtida com a integração da senoide nos limites de
um período T =0 → 2π : S =∫
0
2π
IP
2
.sen
2
θdθ constante fora S =I P
2
∫
0
2π
sen
2
θd θ .
A integral indefinida ∫sen
2
θd θ é resolvida pela fórmula de redução (tabelas):
∫sen²θ d θ =
2−1
2
∫sen
2−2
θ dθ −
cosθ.sen2−1
θ
2
1
2
∫θ dθ −
cosθ.senθ
2
, aplicando os limites de integração: |θ
2
−
cosθ.senθ
2 |2π
0
|2π
2
−
cos 2π. sen2π
2 |2 π
0 |2π
2
−
[1].0
2 |2π
0
ou ∫
0
2π
sen2
θdθ =π .
Assim, S = I P
2
π .
A corrente média quadrática IMQ será a altura do quadrilátero equivalente: h=
S
b
, onde
S = Ip
2
π e a base b=T =2π :
Imq=
S
T
Imq=
Ip
2
π
2π
ou Imq=
Ip
2
2
.
Por serem positivos, os valores médios quadráticos, senoidais ou cossenoidais, são adequados para
o cálculo dos valores eficazes das grandezas elétricas.
Exemplo com IP =5 A (fig. 01 – 13): Imq=
Ip
2
2
Imq=
5
2
2
Imq=
25
2
Imq=12,5 A .
13
14. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Valor eficaz das grandezas sinusoidais
Ao ligarmos um resistor em CA , haverá uma circulação de corrente variável, que vai provocar a
dissipação de uma determinada potência pelo efeito Joule: “A potência dissipada num resistor é
proporcional ao quadrado da corrente que o percorre” P=R.I2 , e a quantidade de calor Qc ,
em Joules, é dada por: QC =R∫
t1
t2
i ² dt .
O Valor Eficaz ou Valor Médio Quadrático, que em Inglês é denominado de r .m .s. (root mean
square), da tensão e da corrente, será menor do que o valor de pico, e um pouco maior do que o
valor da média do semiciclo.
Um Resistor alimentado por uma tensão CA eficaz r .m .s. vai dissipar a mesma potência
que dissiparia se alimentado com uma tensão CC de mesmo valor. Pela lei de çhm, as correntes
seriam iguais.
Os instrumentos de medição, analógicos ou digitais, são projetados para indicar as grandezas
CA em valores eficazes.
O valor eficaz r .m .s. de uma grandeza senoidal simples é dado pela raiz quadrada do valor
médio quadrático dessa grandeza.
No caso da corrente, teremos: I =√Imq ou pela corrente de pico I =
IP
√2
. Ambas levarão ao
mesmo resultado: I = 0,707 Ip .
Outras formas de ondas das correntes alternadas – de acordo com o “perfil” da curva que
representa essas variações periódicas de amplitude ou a polaridade de uma tensão ou corrente,
teremos algumas “formas de ondas” importantes.
• Onda quadrada simétrica: 0→T /2=+V
T /2→T =−V
a tensão se mantém em um dos níveis fixos
por um tempo T /2 . Se não há simetria no tempo, com T /(n≠2) , recebe outras
denominações.
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15. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
• Onda triangular simétrica: a variação entre dois níveis de tensão ocorre de forma linear e
dentro de um tempo T /2 , tanto crescente como decrescente, com transição ao alcançar os
pontos de máximo e mínimo;
• Onda dente de serra: transita instantaneamente do nível máximo positivo para o máximo
negativo, e passa a crescer linearmente até a próxima transição dentro de um tempo T ;
Nota: Existem os pulsos alternados com nível CC , que podem ser positivos ou negativos, ou
com patamares diferente de “zero volt”, isto é, em relação ao eixo t , de forma simétrica ou
assimétrica. Nestes casos, a corrente mantém a mesma polaridade (direção), conforme esteja sob
tensão positiva ou negativa.
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