Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 24

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}(2,7)}$, der durch den Punkt ${\displaystyle {}(4,-3)}$ läuft.

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${\displaystyle {}G}$ und des Kreises ${\displaystyle {}K}$, wobei ${\displaystyle {}G}$ durch die Gleichung ${\displaystyle {}2y-3x+1=0}$ und ${\displaystyle {}K}$ durch den Mittelpunkt ${\displaystyle {}(2,2)}$ und den Radius ${\displaystyle {}5}$ gegeben ist.

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${\displaystyle {}K_{1}}$ und ${\displaystyle {}K_{2}}$, wobei ${\displaystyle {}K_{1}}$ den Mittelpunkt ${\displaystyle {}(3,4)}$ und den Radius ${\displaystyle {}6}$ und ${\displaystyle {}K_{2}}$ den Mittelpunkt ${\displaystyle {}(-8,1)}$ und den Radius ${\displaystyle {}7}$ besitzt.

Es seien ${\displaystyle {}P,Q}$ zwei Punkte auf einer Geraden ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$ sei eine weitere Gerade durch ${\displaystyle {}P}$. Konstruiere mit Zirkel und Lineal eine Raute, so dass ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ Eckpunkte sind und eine Seite auf ${\displaystyle {}M}$ liegt.

Es sei ${\displaystyle {}D}$ ein nichtausgeartetes Dreieck in der Ebene mit den drei Eckpunkten ${\displaystyle {}A,B,C}$. Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Es sei ein Dreieck ${\displaystyle {}D}$ durch die Eckpunkte ${\displaystyle {}A,B,C}$ in der Ebene ${\displaystyle {}E}$ mit den Seiten ${\displaystyle {}S,T,R}$ gegeben. Es sei ferner eine Strecke ${\displaystyle {}S'}$ durch zwei Punkte ${\displaystyle {}P,Q\in E}$ gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein zu ${\displaystyle {}D}$ ähnliches (also winkelgleiches) Dreieck ${\displaystyle {}D'}$ derart, dass ${\displaystyle {}S'}$ eine Seite von ${\displaystyle {}D'}$ ist und dass ${\displaystyle {}S'}$ der Seite ${\displaystyle {}S}$ entspricht.

Es sei ein Kreis ${\displaystyle {}K}$ und ein Punkt ${\displaystyle {}P\in K}$ gegeben. Konstruiere die Tangente an den Kreis durch ${\displaystyle {}P}$.

Es sei eine Gerade ${\displaystyle {}G}$ und ein Punkt ${\displaystyle {}P\not \in G}$ gegeben. Konstruiere einen Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}P}$ derart, dass die Gerade eine Tangente an den Kreis wird.

Es sei ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$ ein nichtkonstruierbarer Punkt.

a) Zeige, dass es unendlich viele Geraden durch ${\displaystyle {}P}$ gibt, auf denen mindestens ein konstruierbarer Punkt liegt.

b) Zeige, dass es maximal eine Gerade durch ${\displaystyle {}P}$ gibt, auf der es mindestens zwei konstruierbare Punkte gibt.

Erläutere geometrisch, warum die ${\displaystyle {}0}$ das neutrale Element der geometrischen Addition von reellen Zahlen ist.

Rekapituliere die Strahlensätze.

Es seien ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ zwei konstruierbare Punkte. Zeige, dass dann auch der Abstand ${\displaystyle {}d(P,Q)}$ konstruierbar ist.

Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.

Zeige, dass man aus dem Einheitsintervall ${\displaystyle {}[0,1]}$ als Startmenge den gesamten ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Zeige, dass man aus ${\displaystyle {}\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ als Startmenge den gesamten ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aus einer Menge ${\displaystyle {}T\subseteq E}$ seien „wie üblich��� Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge ${\displaystyle {}M}$ der Punkte, die aus der Anfangsmenge ${\displaystyle {}\{0,1\}}$ auf diese Weise konstruierbar ist.

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise ${\displaystyle {}K}$ und ${\displaystyle {}L}$, wobei ${\displaystyle {}K}$ den Mittelpunkt ${\displaystyle {}(2,3)}$ und den Radius ${\displaystyle {}4}$ und ${\displaystyle {}L}$ den Mittelpunkt ${\displaystyle {}(5,-1)}$ und den Radius ${\displaystyle {}7}$ besitzt.

Es sei eine zweielementige Menge ${\displaystyle {}M=\{0,1\}}$ in der Ebene gegeben. Wie viele Punkte lassen sich aus ${\displaystyle {}M}$ in einem Schritt, in zwei Schritten und in drei Schritten konstruieren?

Erläutere geometrisch, warum die ${\displaystyle {}1}$ das neutrale Element der geometrischen Multiplikation von reellen Zahlen ist.

Erläutere geometrisch, woran die geometrische Division von reellen Zahlen durch ${\displaystyle {}0}$ scheitert.

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}$

für die Körper ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(2)}$, ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(5)}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)}$.

Schreibe Computeranimationen, die die in Lemma 24.6 beschriebenen Konstruktionen veranschaulichen (über Commons hochladen).