Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 18

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Automorphismus. Es sei ${\displaystyle {}\lambda }$ ein Eigenwert von ${\displaystyle {}\varphi }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\lambda }$ eine Einheitswurzel ist.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}\delta \in G^{\vee }}$ ein Charakter auf der Galoisgruppe ${\displaystyle {}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$. Man mache sich die Gleichheit

${\displaystyle L_{\delta }={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=\delta (\varphi )\cdot x{\text{ für alle }}\varphi \in G\right\}}=\bigcap _{\varphi \in G}\operatorname {Eig} _{\delta (\varphi )}{\left(\varphi \right)}}$

klar.

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{125}}$.

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{p}}}$.

Zeige, dass die Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)\subseteq {\mathbb {F} }_{2197}}$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${\displaystyle {}3}$ ist.

Bestimme die Matrizen zu sämtlichen Körperautomorphismen in Beispiel 17.9 bezüglich einer geeigneten Basis.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}D}$ eine endliche kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte Körpererweiterung. Der Körper ${\displaystyle {}K}$ enthalte eine ${\displaystyle {}m}$-te primitive Einheitswurzel, wobei ${\displaystyle {}m}$ der Exponent von ${\displaystyle {}D}$ sei. Zeige, dass es ein Element ${\displaystyle {}v\in L}$ derart gibt, dass die Menge

${\displaystyle {\left\{\varphi (v)\mid \varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right\}}}$

eine ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ bildet.

Es sei ${\displaystyle {}D=\mathbb {Z} /(n)}$ und sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, der eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ enthält. Es sei ${\displaystyle {}L}$ eine ${\displaystyle {}D}$- graduierte Körpererweiterung von ${\displaystyle {}K}$. Beschreibe die Matrizen der ${\displaystyle {}K}$- Algebraautomorphismen auf ${\displaystyle {}L}$ (also die Elemente der Galoisgruppe ${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$) bezüglich einer geeigneten ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$.

1. Bestimme den Zerfällungskörper ${\displaystyle {}L}$ zum Polynom ${\displaystyle {}X^{4}-7\in \mathbb {Q} [X]}$.
2. Was ist der Grad ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$?
3. Ist die Körpererweiterung graduierbar (mit welcher graduierenden Gruppe?).
4. Was sind die homogenen Automorphismen, welche Gruppe bilden sie?
5. Ist die Galoisgruppe ${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )}$ abelsch?
6. Handelt es sich um eine Kummererweiterung (zu welchem Exponenten)?

Es sei ${\displaystyle {}\zeta _{n}\in {\mathbb {C} }}$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel, und ${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} [\zeta _{n}]}$ der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige, dass es galoissche Körpererweiterungen ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ gibt, deren Galoisgruppe zyklisch der Ordnung ${\displaystyle {}n}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}F,G\in \mathbb {Z} [X]}$ normierte Polynome mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}F=GH}$ ist mit ${\displaystyle {}H\in \mathbb {Q} [X]}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}H\in \mathbb {Z} [X]}$ ist.

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms ${\displaystyle {}P\in \mathbb {Q} [X]}$, wo man die Irreduzibilität nicht mit dem Eisensteinkriterium, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ nachzuweisen.

1. ${\displaystyle {}X^{4}+2X^{2}+2}$,
2. ${\displaystyle {}20X^{5}-15X^{4}+125X^{3}-10X+4}$,
3. ${\displaystyle {}X^{4}+9}$.

Zeige mit Hilfe des verschobenen Eisensteinkriteriums, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-3X-1}$ irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ ist.

Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}+2X^{2}-5}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ irreduzibel ist.

Zeige, dass ein Polynom der Form ${\displaystyle {}X^{n}-p^{2}\in \mathbb {Q} [X]}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$ im Allgemeinen nicht irreduzibel ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Zeige, dass die Polynome ${\displaystyle {}X^{n}-p\in \mathbb {Q} [X]}$ für jedes ${\displaystyle {}n\geq 1}$ irreduzibel sind.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Betrachte das Polynom

${\displaystyle {}P=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$ irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ ist.

Betrachte das Polynom

${\displaystyle {}P=x^{6}-5x^{5}+11x^{4}-13x^{3}+9x^{2}-3x+1\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$ irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ ist.

Bestimme, ob die beiden folgenden Polynome in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [x,y]}$ irreduzibel sind.

a) ${\displaystyle {}y^{4}+3x^{2}y^{2}+4x^{7}y+2x}$.

b) ${\displaystyle {}y^{6}+3xy^{4}+3x^{2}y^{2}+x^{3}}$.

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{343}}$.