Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe ${\displaystyle {}65}$ und deren Produkt ${\displaystyle {}1000}$ ist.

Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy),}$

surjektiv ist.

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven differenzierbaren Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}}$

mit einer stetigen Umkehrabbildung ${\displaystyle {}\psi }$ derart, dass ${\displaystyle {}\psi }$ nicht differenzierbar ist.

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,}$

das zeigt, dass im Satz über die (lokale) Umkehrbarkeit die Bijektivität im Allgemeinen nur auf echten Teilintervallen besteht.

Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+},\,(x,y)\longmapsto (x,e^{x+y}),}$

bijektiv ist. Man gebe explizit eine Umkehrabbildung an.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),}$

eine Funktion. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,y+f(x)),}$

bijektiv ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Es seien

${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

stetig differenzierbare Funktionen. Betrachte die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})),}$

1. Die Abbildung ${\displaystyle {}f}$ ist differenzierbar.
2. Das totale Differential von ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}0}$ ist genau dann bijektiv, wenn von sämtlichen Funktionen ${\displaystyle {}f_{i},\,i=1,\ldots ,n}$, die Ableitungen in ${\displaystyle {}0}$ nicht ${\displaystyle {}0}$ sind.
3. ${\displaystyle {}f}$ ist genau dann auf einer offenen Umgebung von ${\displaystyle {}0}$ bijektiv, wenn die einzelnen ${\displaystyle {}f_{i}}$ in einer geeigneten Umgebung bijektiv sind.

Betrachte die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (\sin xy,yz\cos \left(x^{2}\right),e^{xyz}).}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ im Punkt ${\displaystyle {}P=(1,\pi ,1)}$ lokal umkehrbar ist, und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt ${\displaystyle {}Q=\varphi (P)}$.

Es seien ${\displaystyle {}P=a+bX+cY+\ldots }$ und ${\displaystyle {}Q=d+eX+fY+\ldots }$ Polynome in zwei Variablen und

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),}$

die zugehörige Abbildung. Wann besitzt ${\displaystyle {}\varphi }$ in ${\displaystyle {}\varphi (0,0)}$ lokal eine Umkehrabbildung? Wie sieht in diesem Fall das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt ${\displaystyle {}\varphi (0,0)}$ aus?

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei ${\displaystyle {}g}$ eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}f}$. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

mit

${\displaystyle {}\varphi (x,y)=\left({\frac {x}{f(y)}},\,g(y)\right)\,.}$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$.

b) Zeige, dass man auf ${\displaystyle {}\varphi }$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv ist.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl ${\displaystyle {}c\in [0,1[}$ gibt mit

${\displaystyle {}\Vert {\left(D\varphi \right)_{P}}\Vert \leq c\,}$

für alle ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ euklidische Vektorräume und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung. Dann nennt man

${\displaystyle {}\Vert {\varphi }\Vert :={\operatorname {sup} \,(\Vert {\varphi (v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert =1)}\,}$

die Norm von ${\displaystyle {}\varphi }$.

Begründe, warum die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen wohldefiniert ist.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ euklidische Vektorräume und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$, ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =1}$, mit

${\displaystyle {}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\varphi }\Vert \,}$

gibt.

Zeige, dass die Norm einer linearen Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen folgende Eigenschaften erfüllt.

1. Es ist ${\displaystyle {}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \cdot \Vert {v}\Vert }$.
2. Es ist ${\displaystyle {}\Vert {\varphi }\Vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}\varphi =0}$ ist.
3. Es ist ${\displaystyle {}\Vert {c\varphi }\Vert =\vert {c}\vert \cdot \Vert {\varphi }\Vert }$.
4. Es ist ${\displaystyle {}\Vert {\varphi _{1}+\varphi _{2}}\Vert \leq \Vert {\varphi _{1}}\Vert +\Vert {\varphi _{2}}\Vert }$.

Sei ${\displaystyle {}V}$ ein euklidischer Vektorraum und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine lineare Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$ ein Eigenwert von ${\displaystyle {}\varphi }$. Zeige, dass die Abschätzung

${\displaystyle {}\vert {\lambda }\vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \,}$

gilt.

Sei ${\displaystyle {}V}$ ein euklidischer Vektorraum und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von ${\displaystyle {}\varphi }$ existiert. Zeige, dass

${\displaystyle {}\Vert {\varphi }\Vert ={\max {\left(\vert {\lambda }\vert ,\lambda {\text{ ist Eigenwert von }}\varphi \right)}}\,}$

gilt.

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},}$

eine lineare Abbildung ${\displaystyle {}\neq 0}$. Bestimme einen Vektor ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$ auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}0}$ und Radius ${\displaystyle {}1}$, an dem die Funktion

${\displaystyle B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \vert {\varphi (v)}\vert ,}$

ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von ${\displaystyle {}\varphi }$.

Man konstruiere ein Beispiel, das zeigt, dass Lemma 51.3 ohne die Voraussetzung, dass mit je zwei Punkten auch die Verbindungsgerade zur Definitionsmenge gehört, nicht gilt.

Seien ${\displaystyle {}U_{1}}$ und ${\displaystyle {}U_{2}}$ offene Mengen in euklidischen Vektorräumen ${\displaystyle {}V_{1}}$ und ${\displaystyle {}V_{2}}$. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}}$

eine bijektive Abbildung, die in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in U_{1}}$ differenzierbar sei derart, dass die Umkehrabbildung in ${\displaystyle {}Q=\varphi (P)}$ auch differenzierbar ist. Zeige, dass das totale Differential ${\displaystyle {}\left(D\varphi \right)_{P}}$ bijektiv ist.

Es seien ${\displaystyle {}V_{1}}$ und ${\displaystyle {}V_{2}}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${\displaystyle {}G\subseteq V_{1}}$ offen und sei

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow V_{2}}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq G}$ eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt ${\displaystyle {}P\in U}$ das totale Differential ${\displaystyle {}\left(D\varphi \right)_{P}}$ bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild ${\displaystyle {}\varphi (U)}$ offen in ${\displaystyle {}V_{2}}$ ist.

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y).}$