Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 48

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ von ${\displaystyle {}V}$ mit

${\displaystyle {}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\left\langle v_{j},v_{i}\right\rangle \,}$

für alle ${\displaystyle {}1\leq i,j\leq n}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf ${\displaystyle {}V}$. Es sei ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{n}}$ eine Orthogonalbasis auf ${\displaystyle {}V}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle {}\left\langle u_{i},u_{i}\right\rangle >0}$ für alle ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ positiv definit ist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge ${\displaystyle {}1,-1}$ oder ${\displaystyle {}0}$ sind.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}n}$-dimensionaler reeller Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Bilinearform ist nicht ausgeartet.
2. Die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis ist invertierbar.
3. Die Bilinearform ist vom Typ ${\displaystyle {}(p,n-p)}$ (mit einem ${\displaystyle {}p\in {\{1,\ldots ,n\}}}$.)

Es sei ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform vom Typ ${\displaystyle {}(n-q,q)}$ auf einem ${\displaystyle {}n}$- dimensionalen reellen Vektorraum. Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ und es sei ${\displaystyle {}G}$ die Gramsche Matrix zu ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von ${\displaystyle {}\det G}$ gleich ${\displaystyle {}(-1)^{q}}$ ist.

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&1\\1&-5\end{pmatrix}}}$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Menge und

${\displaystyle f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von ${\displaystyle {}f}$ in jedem Punkt ${\displaystyle {}P\in G}$ symmetrisch ist.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${\displaystyle {}G\subseteq V}$ eine offene Menge und

${\displaystyle f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle {}V}$, ${\displaystyle {}P\in G\cap U}$ und es sei

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon G\cap U\longrightarrow \mathbb {R} }$

die Einschränkung von ${\displaystyle {}f}$. Zeige

${\displaystyle {}{\left(\operatorname {Hess} _{P}\,f\right)}{|}_{U}=\operatorname {Hess} _{P}\,{\tilde {f}}\,.}$

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen ${\displaystyle {}p,q,n}$ mit ${\displaystyle {}p+q\leq n}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ ${\displaystyle {}(p,q)}$ besitzt.

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{3}-xy+y^{2},}$

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-xy^{2}+x^{2}-y^{3},}$

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine ${\displaystyle {}k}$-fach stetig differenzierbare Funktion, ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$ ein Punkt und ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} ^{n}}$. Es sei

${\displaystyle {}h(t):=f(P+tv)\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}h}$ ${\displaystyle {}k}$-fach stetig differenzierbar ist und dass

${\displaystyle {}h^{(k)}(0)=D_{v}\cdots D_{v}f(P)\,}$

(mit ${\displaystyle {}k}$ Richtungsableitungen) gilt.

Man gebe ein Beispiel für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit einer symmetrischen Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf ${\displaystyle {}V}$ und einer Basis ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{n}}$ von ${\displaystyle {}V}$ derart, dass ${\displaystyle {}\left\langle u_{i},u_{i}\right\rangle >0}$ für alle ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$ ist, aber ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ nicht positiv definit ist.

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\1\\5\end{pmatrix}}}$.

Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto xy^{3}-x^{2}\ln z,}$

im Punkt ${\displaystyle {}(0,2,3)}$.

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$ ein kritischer Punkt. Die Hesse-Matrix in ${\displaystyle {}P}$ besitze sowohl positive als auch negative Eigenwerte. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ in ${\displaystyle {}P}$ kein lokales Extremum besitzt.

Bestimme die globalen Extrema für die Funktion

${\displaystyle f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}+xy,}$

wobei ${\displaystyle {}D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ das durch die Eckpunkte ${\displaystyle {}(0,0),\,(1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,1)}$ gegebene abgeschlossene (volle) Dreieck ist.

Bestimme die Hesse-Matrizen zu den kritischen Punkten zur Funktion

${\displaystyle {}f(x,y)=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}-6y^{3}-6x^{2}y+8y^{2}\,}$

aus Beispiel 46.9.