- Übungsaufgaben
Wir wollen beweisen, dass die Funktion
auf
konstant ist. Dafür reicht es für einen beliebigen Punkt
eine kleine Umgebung
zu betrachten und zu zeigen, dass der Funktionswert in
mit dem eines beliebig Punktes
übereinstimmt.
lässt sich schreiben als
für ein
.
Da
überall total differenzierbar ist, mit
, folgt mit
Proposition 46.1,
dass
in Richtung
differenzierbar ist mit Richtungsableitung
.
Insbesondere können wir das für alle Punkte auf der Verbindungslinie zwischen
und
machen. Betrachten wir nun
nur auf diesem Verbindungsstück,
erhalten wir die differenzierbare Kurve
-
deren Ableitung konstant Null ist.
Die Komponenten der Kurve sind nun eindimensionale differenzierbare Funktionen mit Ableitung null, siehe
Lemma 37.4.
Hier lässt sich nun mit Hilfe des Mittelwertsatzes,
Satz 19.3
die Gleichheit der Komponenten von
an Anfangs und Endpunkt der Kurve zeigen.
Diskutieren und Fragen
a) Berechne das
totale Differential
der Abbildung
-
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
?
c) Berechne die
Richtungsableitung
in diesem Punkt in Richtung
.
d) Berechne den Wert von
in diesem Punkt.
a) Berechne das
totale Differential
der Abbildung
-
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
?
c) Berechne die
Richtungsableitung
in diesem Punkt in Richtung
.
d) Berechne den Wert von
in diesem Punkt.
a) Berechne das
totale Differential
der Abbildung
-
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
?
c) Berechne die
Richtungsableitung
in diesem Punkt in Richtung
.
d) Berechne den Wert von
in diesem Punkt.
Bestimme das
totale Differential
der
Determinante
-
für
an der
Einheitsmatrix.
Bestätige die Kettenregel für
für die beiden differenzierbaren Abbildungen
-
und
-
Bestätige die
Kettenregel
anhand der beiden Abbildungen
-
und
-
und ihrer Komposition
in folgenden Schritten.
- Berechne für einen beliebigen Punkt
das
totale Differential
mit Hilfe von
partiellen Ableitungen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt
das totale Differential
mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne explizit die Komposition
.
- Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
das totale Differential von
.
- Berechne das totale Differential von
in einem Punkt
mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
Es seien
und
offene Mengen,
und
und
Abbildungen
derart, dass
gilt. Es sei weiter angenommen, dass
in
und
in
total differenzierbar
ist. Zeige
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)=\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{1}}}(f(P)),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial y_{m}}}(f(P))\right){\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\end{pmatrix}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4208e6a7f0606138eb653ff3ab1aa76014d538da)
Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, mit den Jacobi-Matrizen zu
und
zu arbeiten.
Die Jacobi-Matrix zu
ist gegeben durch
-
![{\displaystyle \operatorname {Jak} (f)_{P}=\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)_{1\leq j\leq m, \atop 1\leq i\leq n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e547b87917e8b8c1cf58f87d3f2be06c325117)
Hierbei sollte man darauf achten, dass die Spalten über die Koordinaten
indiziert sind (man sollte die Matrix nicht versehentlich transponieren), weil wir die Matrix als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung vom
-dimensionalen in den
-dimensionalen Raum auffassen. Das heißt, wir wollen den Koordinatenvektor
von rechts an die Matrix dranmultiplizieren können.
Für die Jacobi-Matrix der Verknüpfung gilt nun
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}=\operatorname {Jak} (g)_{f(P)}\circ \operatorname {Jak} (f)_{P}\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c0fa4a9d2517aa6a7035ea7673c42e8bb5577e)
nach
Satz .. Die zu zeigende Aussage lässt sich daraus direkt ableiten, denn
![{\displaystyle {}{\frac {\partial (g\circ f)_{j}}{\partial x_{i}}}(P)}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f28d4775edbd0fcd298d2d14ec8d5c0a17ff259)
ist ein Eintrag der Matrix
![{\displaystyle {}\operatorname {Jak} (g\circ f)_{P}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08205218ebe716c0c501d2f3d368fd24d3c50cf9)
.
Diskutieren und Fragen
Es seien
-
und
-
in
bzw. in
total differenzierbare
Abbildungen. Es sei
ein Vektor. Zeige mit der Kettenregel, dass
-
![{\displaystyle {}{\left(D_{v}(\psi \circ \varphi )\right)}{\left(P\right)}={\left(D_{{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}}(\psi )\right)}{\left(\varphi (P)\right)}\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c59e221b9357b1623bba2b166a4efe9755dc6dd)
gilt.
Es sei
-
eine Funktion. Zeige, dass die Funktion
-
genau dann im Punkt
total differenzierbar
ist, wenn
in
stetig
ist.
Es seien
und
euklidische Vektorräume,
offen
und sei
-
eine
Abbildung.
Zeige, dass
genau dann
stetig differenzierbar
ist, wenn
total differenzierbar
ist und wenn die Abbildung
-
stetig
ist.
Wir betrachten die Funktion
-
mit
-
![{\displaystyle {}f(x,y):={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,.\end{cases}}\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9271f32ce09f8b06ae44f0dd693b28ca8bdbc999)
a) Zeige, dass
stetig
ist.
b) Zeige, dass die Einschränkung von
auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.
c) Zeige, dass zu
im Nullpunkt in jede Richtung die
Richtungsableitung
existiert.
d) Zeige, dass
im Nullpunkt nicht
total differenzierbar
ist.
Hier haben wir eine typische Beweisaufgabe, in der mathematische Objekte mit speziellen Eigenschaften gegeben sind und daraus soll die Eigenschaft eines weiteren im Zusammenhang stehenden Objektes gezeigt werden. Konkret, wir haben eine stetige Abbildung
und eine Funktion
mit einem lokalen Extremum im Punkt
. Jetzt soll gezeigt werden, dass das lokale Extremum erhalten bleibt, nachdem
in
eingesetzt wird. Dann aber, wegen der Verknüpfung, in dem Punkt
, der durch
zum ursprünglichen Punkt
des lokalen Extremums "geschickt" wird.
Die Eigenschaft, dass
stetig ist, ist dabei natürlich entscheidend.
Nehmen wir uns hierfür als Beispiel eine einfache reelle Funktion
mit Ableitung
. Diese hat ein lokales Minimum (dies ist kein globales Minimum, ein Plot der Funktion ist hilfreich) in
mit Wert
. Wählen wir nun
-
als eindeutig nicht stetige Funktion, sehen wir, dass diese in
eingesetzt
-
ergibt. Diese Funktion hat gewiss kein lokales Extremum mehr in
, dem Punkt der auf das lokale Extremum von
geschickt wurde.
Zum Beweis der Aussage in der Aufgabenstellung sammlen wir die Eigenschaften.
Dass
stetig ist, bedeutet, dass es in jedem Punkt stetig ist. Somit insbesondere im Punkt
. Das wiederum heißt, für jedes
existiert ein
, sodass
-
Mit Worten, in einer Umbebung von
bleiben wir nach Abbilden mit
in einer Umgebung von
.
Weiterhin hat die Funktion
in
ein
lokales Extremum
(wir nehmen ohne Einschränkung an, dass dies ein lokales Minimum ist, für ein Maximum geht das genau so),
d.h. es exisitert ein
mit
-
Mit Worten, in einer Umgebung von
ist der Funktionswert von
immer größer oder gleich dem Funktionswert in
selbst.
Jetzt ist die Frage, ob die Verknüpfung
ein lokales Minimum in
besitzt, also ein
existiert mit
-
Es wäre also gut, wenn
garantiert, dass wir von
in
landen, denn dann nutzen dass
in
das lokale Minimum hat. Das erledigt die Stetigkeit von
. Wie kann
dann gewählt werden?
Diskutieren und Fragen
Es sei
ein Polynom in zwei Variablen der Bauart
-
![{\displaystyle {}f(x,y)=x^{2}+y^{2}+\sum _{(r_{1},r_{2})\in \mathbb {N} ^{2},\,r_{1}+r_{2}\geq 3}a_{(r_{1},r_{2})}x^{r_{1}}y^{r_{2}}\,.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa2ec4cd36cf07413f2d41e1ff1b91d88cf2ba4)
Zeige ohne Differentialrechnung, dass
im Nullpunkt ein
isoliertes lokales Minimum
besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten
ein
derart, dass die Einschränkung von
auf
außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Wir wollen die
Kettenregel
anhand der beiden Abbildungen
-
und
-
und ihrer Komposition
veranschaulichen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt
das
totale Differential
mit Hilfe von
partiellen Ableitungen.
- Berechne für einen beliebigen Punkt
das totale Differential
mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
- Berechne explizit die Komposition
.
- Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
das totale Differential von
.
- Berechne das totale Differential von
in einem Punkt
mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
Wir betrachten die Funktionen
-
mit
-
-
und
-
Berechne das
totale Differential
von
in einem beliebigen Punkt
auf vier verschiedene Arten.
Untersuche die Abbildung
-
auf
partielle Ableitungen
und
totale Differenzierbarkeit.
Es sei
-
eine
differenzierbare Abbildung.
Zeige, dass dann auch die Abbildung
-
differenzierbar ist und bestimme das
totale Differential
davon.
Man gebe ein Beispiel für eine
differenzierbare Kurve
-
und eine
stetige Funktion
-
für die die
Richtungsableitung
in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung
-
nicht differenzierbar ist.