Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 39

Von einer Bewegung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

sei der Geschwindigkeitsverlauf

${\displaystyle {}\varphi '(t)=\left({\frac {t^{2}-1}{t}},\,t\sin \left(t^{2}\right),\,te^{t}\right)\,}$

bekannt. Ferner sei

${\displaystyle {}\varphi (1)=(1,2,3)\,}$

bekannt. Bestimme ${\displaystyle {}\varphi (t)}$.

Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve

${\displaystyle [a,b]\longrightarrow V}$

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ unabhängig von der gewählten Basis ist.

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven

${\displaystyle g\colon I\longrightarrow V,}$

wobei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{5}-1,\,t+\sin t\right).}$

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}.}$

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über ${\displaystyle {}[a,b]}$, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Es sei ${\displaystyle {}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion, die wir als ein (eindimensionales) Vektorfeld auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ auffassen. Es sei ${\displaystyle {}[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {}t\longmapsto t}$ der identische Weg. Zeige, dass das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }f}$ mit dem Integral ${\displaystyle {}\int _{a}^{b}f(t)dt}$ übereinstimmt.

Bestimme das Wegintegral zum eindimensionalen Vektorfeld

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-4x+2,}$

und zum Weg

${\displaystyle \gamma \colon [-3,2]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2}+t-1.}$

Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [2,7]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2}-1,t+3\right),}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle {}F(x,y)=\left(y^{2}-x,\,-3xy-y^{3}\right)\,.}$

Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [1,6]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},t^{3},t\right)},}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle {}F(x,y,z)={\left(y^{2}-xz^{2},xy,-3xz-y^{3}z\right)}\,.}$

Berechne das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$ zum Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (y,x),}$

längs des Weges

${\displaystyle \gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,e^{t}).}$

Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}+1,t\right)},}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle {}F(x,y,z)={\left(y^{2}-xz,xyz,5x^{2}z-yz\right)}\,.}$

Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle {}F(x,y,z)=(y-z^{3},x^{2},-xz)\,.}$

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

${\displaystyle [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),}$

im Vektorfeld

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(y,\,-x\right).}$

Es seien ${\displaystyle {}a,b,c,d,r,s\geq 1}$ natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

${\displaystyle [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{r},t^{s}).}$

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle F(x,y)=(x^{a}y^{b},x^{c}y^{d}).}$

Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Vektorfeldern.

a) ${\displaystyle {}F(x,y)=(x,y)}$,

b) ${\displaystyle {}F(x,y)=(x,-y)}$,

c) ${\displaystyle {}F(x,y)=(y,x)}$,

d) ${\displaystyle {}F(x,y)=(y,-x)}$.

Es sei

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

ein stetiges Vektorfeld und

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }$

ein stetig differenzierbarer Weg. Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}F}$. Zeige

${\displaystyle {}\int _{\gamma }F=G(\gamma (b))-G(\gamma (a))\,.}$

Es sei

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

ein stetiges Vektorfeld, wobei die ${\displaystyle {}i}$-te Komponente nur von der ${\displaystyle {}i}$-ten Variabeln abhängen möge. Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow U}$

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$ nur von ${\displaystyle {}\gamma (a)}$ und ${\displaystyle {}\gamma (b)}$ abhängt.

Wir betrachten das identische Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto P.}$

Zeige, dass für je zwei Punkte ${\displaystyle {}P,Q\in \mathbb {R} ^{n}}$ und für jeden stetig differenzierbaren Weg

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

mit ${\displaystyle {}\gamma (a)=P}$ und ${\displaystyle {}\gamma (b)=Q}$ das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$ gleich ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}{\left(\Vert {Q}\Vert ^{2}-\Vert {P}\Vert ^{2}\right)}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}F\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.

1. Man gebe ein Beispiel für ein diagonalisierbares ${\displaystyle {}F}$ (mit ${\displaystyle {}n=2}$) und eine stetig differenzierbare Kurve

   ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

   mit ${\displaystyle {}\gamma (a)=\gamma (b)}$ derart an, dass das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$ nicht ${\displaystyle {}0}$ ist.

2. Es sei nun ${\displaystyle {}F}$ diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis. Zeige, dass

   ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F=0\,}$

   für jede stetig differenzierbare Kurve ${\displaystyle {}\gamma }$ mit ${\displaystyle {}\gamma (a)=\gamma (b)}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

${\displaystyle F,G\colon U\longrightarrow V}$

stetige Vektorfelder und

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\longrightarrow U}$

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für ${\displaystyle {}r,s\in \mathbb {R} }$ ist

   ${\displaystyle {}\int _{\gamma }rF+sG=r\int _{\gamma }F+s\int _{\gamma }G\,.}$

2. Es ist

   ${\displaystyle {}\int _{-\gamma }F=-\int _{\gamma }F\,,}$

   wobei ${\displaystyle {}-\gamma }$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

3. Wenn

   ${\displaystyle \delta \colon [b,c]\longrightarrow U}$

   ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ${\displaystyle {}\delta (b)=\gamma (b)}$ ist, so ist

   ${\displaystyle {}\int _{\gamma *\delta }F=\int _{\gamma }F+\int _{\delta }F\,,}$

   wobei ${\displaystyle {}\gamma *\delta }$ den aneinander gelegten Weg bezeichnet.

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{5}-1,\,t+\sin t\right).}$

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}.}$

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über ${\displaystyle {}[a,b]}$, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Bestimme das Wegintegral zum eindimensionalen Vektorfeld

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}+5x^{2}-6,}$

und zum Weg

${\displaystyle \gamma \colon [-1,3]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{3}+2t.}$

Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,-t^{3},\,t^{2}-t+4\right),}$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

${\displaystyle {}F(x,y,z)=\left(y^{3}-x^{2}z^{2},\,x^{2}y,\,5x^{3}z-y^{2}z\right)\,.}$

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (t,-t,t^{2}),}$

und das Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2},xz,y^{2}).}$

a) Berechne das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$.

b) Es sei

${\displaystyle g\colon [0,{\frac {\pi }{2}}]\longrightarrow [0,1],\,s\longmapsto \sin s,}$

und ${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g}$. Berechne (unabhängig von a)) ${\displaystyle {}\int _{\tilde {\gamma }}F}$

Wir betrachten das Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{2}-e^{y},xy+\cos x\right)}.}$

Bestimme das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.

Wir betrachten das Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{3}-xy+2y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},\,{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right).}$

Bestimme das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von ${\displaystyle {}(0,-2)}$ nach ${\displaystyle {}(3,4)}$.

Wir betrachten das konstante Vektorfeld

${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto v.}$

Zeige, dass für zwei Punkte ${\displaystyle {}P,Q\in \mathbb {R} ^{n}}$ und jeden stetig differenzierbaren Weg ${\displaystyle {}\gamma \colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle {}\gamma (a)=P}$ und ${\displaystyle {}\gamma (b)=Q}$ das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }F}$ gleich ${\displaystyle {}\left\langle Q-P,v\right\rangle }$ ist.