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2024年度春学期 応用数学(解析)第15回 ルベーグ積分 (2024. 7. 18)

2024年度春学期 応用数学(解析)第15回 ルベーグ積分 (2024. 7. 18)

関西大学総合情報学部 応用数学(解析)(担当・浅野晃)
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2024s/AMA/

Akira Asano

July 08, 2024
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  1. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a

    a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる
  2. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 積分に対する疑問 4 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらない p q a

    a f(x)dx = 0 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか?
  3. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 積分に対する疑問(再び) 5 この疑問に答えるために, と の間にある有理数全体が占める幅を考える p q

    可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか?
  4. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 積分に対する疑問(再び) 5 この疑問に答えるために, と の間にある有理数全体が占める幅を考える p q

    可算無限個ある 可算無限個の直線を抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらないのか?
  5. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 有理数全体が占める幅(再び) 7 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数 を a1

    , a2 , … a1 a2 a3 ε 2 ε 22 ε 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε を任意の正の数とすると ε … その下限は0 有理数全体のルベーグ測度は0
  6. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 区分求積法で積分を求める(再び) 9 積分 は, 分 q p

    f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない,有限個の 区間に分けて, その上の長方形の面積の極限
  7. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 区分求積法で積分を求める(再び) 9 積分 は, 分 q p

    f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を 重なりのない,有限個の 区間に分けて, その上の長方形の面積の極限 「極限」とは,無限ではなく有限
  8. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ジョルダン測度(再び) 10 f(x) x p q こちらの上限

    f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度という
  9. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ジョルダン測度(再び) 10 f(x) x p q こちらの上限

    f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度という 2次元の場合これを面積という
  10. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ジョルダン測度(再び) 10 f(x) x p q こちらの上限

    f(x) x p q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度という 2次元の場合これを面積という ジョルダン測度が定まる図形(集合)をジョルダン可測という
  11. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 何がいけなかったのか 14 軸上を無理に分割しようとするから, 有限個に分割できないとき困る x f(x) x

    p q f(x) x p q 区分求積をするときに, 軸のほうは,それに対応して分割されるようにすればいい x 軸上のほうを分割し, y
  12. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai

    軸を分割 y 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  13. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai

    軸を分割 y 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  14. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai

    軸を分割 y 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  15. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai

    軸を分割 y 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  16. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai

    軸を分割 y 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  17. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 y yi x yi+1 Ai

    軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  18. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×( のルベーグ測度)を求める yi Ai y

    yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  19. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×( のルベーグ測度)を求める yi Ai y

    yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  20. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×( のルベーグ測度)を求める yi Ai y

    yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  21. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×( のルベーグ測度)を求める yi Ai y

    yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  22. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×( のルベーグ測度)を求める yi Ai y

    yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  23. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×( のルベーグ測度)を求める yi Ai y

    yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし これを各 について合計したものの,分割を細かくしたときの極限 yi 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  24. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ルベーグ積分の考え方 15 ×( のルベーグ測度)を求める yi Ai がたとえ可算無限個に分れていても,

    ルベーグ可測なら完全加法性があるから合計できる Ai y yi x yi+1 Ai 軸を分割 y Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし これを各 について合計したものの,分割を細かくしたときの極限 yi 対応する 軸の区間を得る x 分割された 軸の区間を グラフが通る部分について y
  25. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 [単関数]: こういう階段状の関数 A1 α1

    α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai)       A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai)     が にあるとき値が1,他は0 [特性関数] x Ai
  26. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 [単関数]: こういう階段状の関数 A1 α1

    α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai)       A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai)     × のルベーグ測度 αi Ai が にあるとき値が1,他は0 [特性関数] x Ai
  27. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 [単関数]: こういう階段状の関数 A1 α1

    α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai)       A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai)     × のルベーグ測度 αi Ai が にあるとき値が1,他は0 [特性関数] x Ai
  28. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 [単関数]: こういう階段状の関数 A1 α1

    α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai)       A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai)     × のルベーグ測度 αi Ai が にあるとき値が1,他は0 [特性関数] x Ai
  29. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 単関数とルベーグ積分 16 単関数のルベーグ積分 [単関数]: こういう階段状の関数 A1 α1

    α2 α3 A2 A3 ϕ(x) = n i=1 αiϕ(x; Ai)       A ϕ(x)m(dx) = n i=1 αim(Ai)     × のルベーグ測度 αi Ai が にあるとき値が1,他は0 [特性関数] x Ai
  30. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 可測関数のルベーグ積分 18 関数を単関数で近似する y yi x yi+1

    Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) 可測関数のルベーグ積分
  31. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 可測関数のルベーグ積分 18 単関数で近似 関数を単関数で近似する y yi x

    yi+1 Ai yi Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) 可測関数のルベーグ積分
  32. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか? sup k/2n A

    f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし
  33. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか? sup k/2n A

    f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし
  34. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか? sup k/2n 軸をこのように分割し,単関数で近似

    y A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n |f(x) − ϕn(x)| ≤ 1 2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし
  35. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか? sup k/2n 軸をこのように分割し,単関数で近似

    y A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n |f(x) − ϕn(x)| ≤ 1 2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし で0 n → ∞
  36. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか? sup k/2n 軸をこのように分割し,単関数で近似

    y A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n |f(x) − ϕn(x)| ≤ 1 2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし で0 n → ∞ 単関数が に 各点収束する f(x)
  37. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 可測関数のルベーグ積分 19 本当に で近似できるか? sup k/2n 軸をこのように分割し,単関数で近似

    y A f(x)m(dx) = sup A ϕ(x)m(dx) ) 「 ( ) ( ) を たすす (k + 1)/2n |f(x) − ϕn(x)| ≤ 1 2n y yi x yi+1 Ai Ai = {a|yi f(a) < yi+1} したも 分割を細かくし で0 n → ∞ 単関数が に 各点収束する f(x) (もうすこし詳しくは テキストで)
  38. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディリクレ関数の積分 21 h(x) = 1 x は有理数

    0 x は無理数  ディリクレ関数 x 0 1 … … h(x) = 1 × ϕ(x; Q) + 0 × ϕ(x; R\Q) という単関数
  39. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディリクレ関数の積分 21 h(x) = 1 x は有理数

    0 x は無理数  ディリクレ関数 x 0 1 … … h(x) = 1 × ϕ(x; Q) + 0 × ϕ(x; R\Q) という単関数 が有理数のとき1 x
  40. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディリクレ関数の積分 21 h(x) = 1 x は有理数

    0 x は無理数  ディリクレ関数 x 0 1 … … h(x) = 1 × ϕ(x; Q) + 0 × ϕ(x; R\Q) という単関数 が有理数のとき1 x が無理数のとき1 x
  41. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディリクレ関数の積分 21 有理数のルベーグ測度は0 h(x) = 1 x

    は有理数 0 x は無理数  ディリクレ関数 x 0 1 … … h(x) = 1 × ϕ(x; Q) + 0 × ϕ(x; R\Q) という単関数 が有理数のとき1 x が無理数のとき1 x
  42. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ディリクレ関数の積分 21 有理数のルベーグ測度は0 h(x) = 1 x

    は有理数 0 x は無理数  ディリクレ関数 x 0 1 … … h(x) = 1 × ϕ(x; Q) + 0 × ϕ(x; R\Q) という単関数 が有理数のとき1 x が無理数のとき1 x つまり, をどんな積分区間で積分しても0 h(x)
  43. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 ここまでのまとめ 22 ルベーグ積分   軸を細かく分割するのではなく,   軸を分割して,それにしたがって

    軸が分割される x y x 軸でなくても  ルベーグ可測な集合に対する可測関数ならOK  例:事象の集合と確率 x 分割された 軸の区間の長さはルベーグ測度で測るから, 区間が可算無限個あってもよい x
  44. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本空間 24 すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で,いずれも 「同様に確からしい」と考えて,それぞれに確率1/6を割り当てている (ラプラスの定義)

    [標本空間] さいころ🎲🎲の各目が出る確率は,いずれも1/6? 連続的に動く時計の針を,目を閉じて止める 12 針と0時の位置との間が,ある角度になる確率?
  45. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本空間 24 すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で,いずれも 「同様に確からしい」と考えて,それぞれに確率1/6を割り当てている (ラプラスの定義)

    [標本空間] さいころ🎲🎲の各目が出る確率は,いずれも1/6? 連続的に動く時計の針を,目を閉じて止める 12 針と0時の位置との間が,ある角度になる確率?
  46. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本空間 24 この角度は標本空間だが,「0°〜360°の実数の集合」 なので,要素が可算でない すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で,いずれも

    「同様に確からしい」と考えて,それぞれに確率1/6を割り当てている (ラプラスの定義) [標本空間] さいころ🎲🎲の各目が出る確率は,いずれも1/6? 連続的に動く時計の針を,目を閉じて止める 12 針と0時の位置との間が,ある角度になる確率?
  47. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本空間 24 この角度は標本空間だが,「0°〜360°の実数の集合」 なので,要素が可算でない すべての可能な目は {1,2,3,4,5,6} で,いずれも

    「同様に確からしい」と考えて,それぞれに確率1/6を割り当てている (ラプラスの定義) [標本空間] さいころ🎲🎲の各目が出る確率は,いずれも1/6? 連続的に動く時計の針を,目を閉じて止める 12 針と0時の位置との間が,ある角度になる確率? 確率を割り当てることはできない
  48. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 事象 25 - 「1または2の目」(が出る) - 「1時から3時の間の角度」(に止まる) 標本空間の要素ではなく,標本空間の部分集合に確率を割り当てる

    確率を割り当てることのできる部分集合は, 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき,次の集合族(部分集合の集合) に限る Ω ℱ
  49. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 事象 25 - 「1または2の目」(が出る) - 「1時から3時の間の角度」(に止まる) 標本空間の要素ではなく,標本空間の部分集合に確率を割り当てる

    確率を割り当てることのできる部分集合は, 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき,次の集合族(部分集合の集合) に限る Ω ℱ
  50. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 事象 25 - 「1または2の目」(が出る) - 「1時から3時の間の角度」(に止まる) [事象]

    標本空間の要素ではなく,標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は, 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき,次の集合族(部分集合の集合) に限る Ω ℱ
  51. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 事象 25 - 「1または2の目」(が出る) - 「1時から3時の間の角度」(に止まる) [事象]

    標本空間の要素ではなく,標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は, これらは事象 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき,次の集合族(部分集合の集合) に限る Ω ℱ
  52. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 事象 25 - 「1または2の目」(が出る) - 「1時から3時の間の角度」(に止まる) [事象]

    標本空間の要素ではなく,標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は, これらは事象 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき,次の集合族(部分集合の集合) に限る Ω ℱ [σ-集合体]
  53. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 事象 25 - 「1または2の目」(が出る) - 「1時から3時の間の角度」(に止まる) [事象]

    標本空間の要素ではなく,標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は, これらは事象 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき,次の集合族(部分集合の集合) に限る Ω ℱ 標本空間全体([全事象])には確率を割り当てる [σ-集合体]
  54. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 事象 25 - 「1または2の目」(が出る) - 「1時から3時の間の角度」(に止まる) [事象]

    標本空間の要素ではなく,標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は, これらは事象 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき,次の集合族(部分集合の集合) に限る Ω ℱ 標本空間全体([全事象])には確率を割り当てる 確率を割り当てられた集合の補集合 ([余事象])には確率を割り当てる [σ-集合体]
  55. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 事象 25 - 「1または2の目」(が出る) - 「1時から3時の間の角度」(に止まる) [事象]

    標本空間の要素ではなく,標本空間の部分集合に確率を割り当てる 確率を割り当てることのできる部分集合は, これらは事象 1. Ω ∈ F 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F 3. A1, A2, · · · ∈ F ⇒ ∞ i=1 Ai ∈ F 標本空間を とするとき,次の集合族(部分集合の集合) に限る Ω ℱ 標本空間全体([全事象])には確率を割り当てる 確率を割り当てられた集合の補集合 ([余事象])には確率を割り当てる 確率を割り当てられた集合の和集合 ([和事象])には確率を割り当てる [σ-集合体]
  56. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度 26 標本空間 と,σ-集合体 の組 を[可測空間]という Ω

    ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 ([確率測度])を, 次の3つを満たすものとする P 1. すべての A ∈ F について,P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai)
  57. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度 26 標本空間 と,σ-集合体 の組 を[可測空間]という Ω

    ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 ([確率測度])を, 次の3つを満たすものとする P 確率は正の値または0 1. すべての A ∈ F について,P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai)
  58. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度 26 標本空間 と,σ-集合体 の組 を[可測空間]という Ω

    ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 ([確率測度])を, 次の3つを満たすものとする P 確率は正の値または0 1. すべての A ∈ F について,P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai) 全事象の確率は1(「何でもよいから何かがおきる」確率は1)
  59. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度 26 標本空間 と,σ-集合体 の組 を[可測空間]という Ω

    ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 ([確率測度])を, 次の3つを満たすものとする P 確率は正の値または0 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 1. すべての A ∈ F について,P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai) 全事象の確率は1(「何でもよいから何かがおきる」確率は1)
  60. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度 26 標本空間 と,σ-集合体 の組 を[可測空間]という Ω

    ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 ([確率測度])を, 次の3つを満たすものとする P 確率は正の値または0 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 1. すべての A ∈ F について,P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai) 全事象の確率は1(「何でもよいから何かがおきる」確率は1) (つまり「完全加法性」)
  61. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度 26 標本空間 と,σ-集合体 の組 を[可測空間]という Ω

    ℱ (Ω, ℱ) 可測空間に割り当てられる測度 ([確率測度])を, 次の3つを満たすものとする P 確率は正の値または0 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 1. すべての A ∈ F について,P(A) 0 2. P(Ω) = 1 3. Ai ∈ F かつ Ai ∩ Aj = ∅ (i ̸= j) ⇒ P ∞ i=1 Ai = ∞ i=1 P(Ai) 全事象の確率は1(「何でもよいから何かがおきる」確率は1) (つまり「完全加法性」) 標本空間 と,σ-集合体 ,確率測度 の組 を[確率空間]という Ω ℱ P (Ω, ℱ, P)
  62. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH,裏が出るという事象をT 標本空間 Ω =

    {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して,確率測度 を P と割り当てると, は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)
  63. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH,裏が出るという事象をT 標本空間 Ω =

    {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して,確率測度 を P と割り当てると, は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) 「正しいコイン」なら,p = 1 2 ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)
  64. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH,裏が出るという事象をT 標本空間 Ω =

    {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して,確率測度 を P と割り当てると, は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) 「正しいコイン」なら,p = 1 2 一方, ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)
  65. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH,裏が出るという事象をT 標本空間 Ω =

    {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して,確率測度 を P と割り当てると, は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) 「正しいコイン」なら,p = 1 2 σ-集合体 ℱ = {∅, Ω} 確率測度 P(∅) = 0, P(Ω) = 1 一方, ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)
  66. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH,裏が出るという事象をT 標本空間 Ω =

    {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して,確率測度 を P と割り当てると, は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) 「正しいコイン」なら,p = 1 2 σ-集合体 ℱ = {∅, Ω} 確率測度 P(∅) = 0, P(Ω) = 1 一方, としても, は確率空間に なっている (Ω, ℱ, P) ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)
  67. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 確率測度と確率空間の例 27 コインを1回投げる 表が出るという事象をH,裏が出るという事象をT 標本空間 Ω =

    {H, T} σ-集合体 この可測空間に対して,確率測度 を P と割り当てると, は確率空間になっている (Ω, ℱ, P) 「正しいコイン」なら,p = 1 2 σ-集合体 ℱ = {∅, Ω} 確率測度 P(∅) = 0, P(Ω) = 1 一方, としても, は確率空間に なっている (Ω, ℱ, P) (この続きは「解析応用」テキストで) ℱ = {∅, {H}, {T}, Ω} P(∅) = 0,P({H}) = p, P({T}) = 1 − p, P(Ω) = 1 (0 ≦ p ≦ 1)
  68. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題の(1) 29 確率空間 について,集合 のとき, を証明せよ (Ω,

    ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より
  69. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題の(1) 29 確率空間 について,集合 のとき, を証明せよ (Ω,

    ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和
  70. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題の(1) 29 確率空間 について,集合 のとき, を証明せよ (Ω,

    ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅)
  71. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題の(1) 29 確率空間 について,集合 のとき, を証明せよ (Ω,

    ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅)
  72. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題の(1) 29 確率空間 について,集合 のとき, を証明せよ (Ω,

    ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅)
  73. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題の(1) 29 確率空間 について,集合 のとき, を証明せよ (Ω,

    ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅)
  74. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題の(1) 29 確率空間 について,集合 のとき, を証明せよ (Ω,

    ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅) 条件2より P(Ω) = 1
  75. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題の(1) 29 確率空間 について,集合 のとき, を証明せよ (Ω,

    ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅) 条件2より P(Ω) = 1 ここは0
  76. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題の(1) 29 確率空間 について,集合 のとき, を証明せよ (Ω,

    ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅) 条件2より P(Ω) = 1 条件1より だから P( ⋅ ) ≧ 0 P(∅) = 0 ここは0
  77. 29 2024年度春学期 応用数学(解析) / 関西大学総合情報学部 浅野 晃 問題の(1) 29 確率空間 について,集合 のとき, を証明せよ (Ω,

    ℱ, P) A, B ∈ ℱ P(∅) = 0 とすると A1 = Ω, Ai = ∅ (i = 2,3,…) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … (問題(2)〜(5)についてはテキストの解答例で) Ω ∅ ∅ 確率測度の定義の条件3より 排反な各事象の和集合(和事象)に対する確率は 各事象に対する確率の和 P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) + … P(Ω) = P(Ω) + ∞ ∑ i=2 P(∅) 条件2より P(Ω) = 1 条件1より だから P( ⋅ ) ≧ 0 P(∅) = 0 ここは0