Pojdi na vsebino

Eulerjeva vsota

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
(Preusmerjeno s strani Eulerjeva sumacijska metoda)

Eulerjeva vsota (tudi Eulerjeva sumacijska metoda) je v matematiki konvergentnih in divergentnih vrst sumacijska metoda. Je metoda za dodelitev vrednosti vrstam, ki se razlikuje od konvencionalne metode računanja limit delnih vsot. Če je dana vrsta:

in, če njena Eulerjeva transformacija konvergira k vsoti, se ta vsota imenuje Eulerjeva vsota izvirne vrste. Eulerjeva vsota se lahko poleg določanja vrednosti za divergentne vrste rabi za pospeševanje konvergence vrst.

Eulerjeva vsota se lahko posploši v družino metod označenih kot (E, q), kjer je q ≥ 0. Vsota (E, 1) je običajna Eulerjeva vsota. Vse te metode so strogo šibkejše od Borelove vsote; za q > 0 so neprimerljive z Abelovo vsoto.

Definicija

[uredi | uredi kodo]

Za poljubno vrednost y se lahko definira Eulerjeva vsota (če za to vrednost y konvergira), ki odgovarja posebni formalni vsoti kot:

Če formalna vsota dejansko konvergira, bo Eulerjeva vsota enaka. Eulerjeva vsota se še posebej rabi za pospeševanje konvergence alternirajočih vsrt in včasih lahko da uporabno smiselno vrednost divergentnih vsot.

V opravičilo temu pristopu je treba poudariti, da se za medsebojno zamenjano vsoto Eulerjeva vsota skrči na začetno vrsto, ker velja:

Metoda sama se iterativno ne more izboljšati, saj velja:

Zgodovina

[uredi | uredi kodo]

Euler je vpeljal transformacijo vrst leta 1755 v svojem delu Osnove diferencialnega računa (Institutiones calculi differentialis).[1] Dano vrsto je zapisal kot alternirajočo vrsto . Z nekaj formalnimi algebrskimi koraki je pokazal, da velja transformacija:

kjer je:

Tako je naprej:

Členi na desni transformacije običajno postnejo veliko manjši in to hitreje, kar omogoča hitro numerično seštevanje. Naj je . Če se uvedeta spremenljivki x in y, ki sta povezani kot:

velja:

Če se izbereta in , sledi:

kot je zahtevano.[2]

Zgledi

[uredi | uredi kodo]
  • če se za formalno vsoto vzame y = 1, se dobi če je polinom stopnje k. Pri tem bo notranja vsota enaka nič za i > k, tako da bo v tem primeru Eulerjeva vsota skrčila neskončno vrsto v končno.
Tu je in posebej , ter za vse , tako da Eulerjeva transformacija da »pričakovani« rezultat 1/2:
  • ali vrsta:
Zaporedja razlik so , , , . Eulerjeva transformacija da vrsto .
je , in za vse , tako da je Eulerjeva vsota enaka .
  • posebna izbira zagotavlja eksplicitno reprezentacijo Bernoullijevih števil, ker je (Riemmanova funkcija ζ). Formalna vrsta v tem primeru dejansko divergira, ker je k pozitiven. Če se uporabi Eulerjeva vsota na funkcijo ζ (ali na sorodno Dirichletovo funkcijo η), bo veljalo , kar je analitična rešitev.
  • . Z ustrezno izbiro y (da je enak ali blizu ) ta vrsta konvergira k .

Značilnosti

[uredi | uredi kodo]

Eulerjeva vsota je linearna in regularna[4][5] in tako spada med generične sumacijske metode.

Glej tudi

[uredi | uredi kodo]

Sklici

[uredi | uredi kodo]
  1. Euler (1755).
  2. Kline (1983), str. 312.
  3. Kline (1983), str. 313.
  4. Vorobjov (1986), str. 306.
  5. »Euler summation method«, Encyclopedia of Mathematics (v angleščini), 17. avgust 2014, pridobljeno 5. januarja 2017